Auf einer (teilweise) geordneten Gruppe werden Disjunktivitatsrelationen (eine E -und 8-Disjunktivitat) definiert und die Eigenschaften der bezuglich dieser Relation abgeschlossenen Mengen (der E -und 8-Komponenten) studiert .
Aus den E-Komponenten werden y-Untergruppen abgeleitet, die allgemein Komponenten bezuglich keiner Relation der Disjunktivitat darstellen. wenngleich sie Eigenschaften ahnlicher Art wie die Komponenten besitzen und erst unter gewissen zusatzlichen Bedingungen (unter der Bedingung ( M ) oder auf den Verbandsgruppen) Komponenten werden.
Erklaren wir auf einer geordneten Gruppe G zwischen positiven Elementen a, b E G' eine Relation durch die Vorschrift a E b e u ,-. 6 = 0, so erhalten wir einen Spezialfall der PolaritLt ([el IV, 5 ) ) die zwischen den Elementen der Menge G + und denen derselben Menge definiert wird. G . BIRX-HOFF ( [ 2 ] XIV, s 4) nennt diese Relation eine Disjunktivitat; wir wollen sie zur Unterscheidung von analog definierten Relationen eine c-Disjunktivitat nennen. 1st @ + A E G + , so sei A ' = { x € G + / z ~y fur jedes Y E A ) . Die Menge A wird bezuglich der Relation als abgeschlossen angesehen, wenn A = AEE gilt. Solche Mengen heil3en e-Komponenten. Auf den Vektorverbanden und auf den Verbandsgruppen hat ausgezeichnete Anwendungen eine andere Disjunktivitat, die sog. 8-Disjunktivitat, die folgendermal3en definiert ist: z 8 y H 1x1 1 y I = 0. Ahnlich wie oben kann man Mengen A' und 8-Komponenten definieren. Beide Typen der Disjunktivitat wurden in vielen Arbeiten zur Untersuchung der Struktur von geordneten Gruppen. von Verbandsgruppen und Vektorverbanden, namentlich im Zusammenhang mit den direkten und subdirekten Summen von linear geordneten Gruppen angewandt ([I, 2 , 4 bis 141). Auf den Verbandsgruppen sind die P -und 8-Komponenten sehr eng verkniipft, denn zu jeder 8-Komponente K existiert eine E-Komponente A mit K = A -A und fur jede E-Komponente A ist die Menge A -A eine S-Komponente ([14]). Der Begriff der 6-Disjunktivitat 1aBt sich auf den Verbandsgruppen noch in anderer aquivalenter Weise definieren, z. B. folgendermal3en: z 8 y H es existieren konvexe I-Untergruppen P, Q in G mit x E P , y E Q , P n Q = 0 oder auch t t i ' s4 Gik, Disjunlitivitatsproblem auf geordneten Gruppen ,r b y e es existieren Elemente a , b E G + niit u 2 x 2 -a , b 2 y 2 -b, a -b = 0. Die letzte Methode wird in der vorliegenden Arbeit zur Definition der 6-Disjunktivitat auf gerichteten Gruppen benutzt. Die 8-Komponenten auf einer gerichteten Gruppe sind konvexe Xtengen ; sie werden aber Untergruppenzum Unterschied von den Verbandsgruppenerst nach einer zusatzlichen Bedingung (die weiterhin mit (X) bezeichnet wird). Mit Riicksicht darauf, daB die Eigenschaft der Komponenten (beziiglich einer Disjunktivitat) , ,Cntergruppen zu sein" sehr erwunscht ist, haben wir den Begriff einer y-Untergruppe als einer Menge B G eingefiihrt, zu der eine E-Komponente A in G n i t B = A -A existiert. Die Beschaffenheit der y-Untergruppen ist in vieleni Phnlich der der d-Koniponenten auf den Verbandsgruppen und sie werden in der Theorie der gerichteten Gruppen auf eine ebenso geeignete Weise, wie die 8-Komponenten bei den Strukturuntersuchungen der Verbandsgruppen, angewandt. I n der vorliegenden Arbeit gelangen wir zu einem Ergebnis, daB die Xenge r aller y-Untergruppen einer geordneten Gruppe G einen vollstandigen Boomschen Verband darstellt. 1st G eine Verbandsgruppe, so ist die Menge r m i t der Menge aller h-Komponenten in G identisch. Allgemein braucht die Jfenge r die Komponentenmenge beziiglich keiner Disjunktivitat dar- stellen. denn der Durchschnitt jedes Systems von Komponenten ist eine Komponente, mahrend diese Eigenschaft nicht allgemein in T erfullt zu werden braucht. Eine Folgerung einer allgenieineren Theorie [ll] ist die Behauptung, daB die Menge aller e-Komponenten € einen vollstandigen Boomschen Verband darstellt, in den1 das Infimum durch den Durchschnitt realisiert wird. Eine Anwendung der oben erwahnten Resultate iolgt in der Arbeit uber die direkten Zerlegungen gerichteter Gruppen.