In art. 341 der Disquisitiones Arithmeticae zeigt C. F. Gauss die Irreduzibilitat des p-ten Kreisteilungspolynoms hp(x) = x p-I + ... + x + 1 (p ungerade Primzahl) uber dem Korper der rationalen Zahlen. Der Beweis zer/allt in vier Teile. Das einfache Argument, dab ein reelles Polynom mit jeder komplexen Zahl z auch die konjugierte Zahl z als Nullstelle besitzt, reduziert den Beweis auf den ersten Teil. Es wird die Vermutung diskutiert, dab Gauss ursprunglich an die Irreduzibilitat von hp(x) uber einem groBeren, nicht notwendig reelen Koeffizientenbereich K gedacht hat. Am Beispiel K = ~(i) wird gezeigt, dab Gauss' Beweis dann in allen Teilen sehr naturlich erscheint. In section 341 of his Disquisitiones Arithmeticae
C. F. Gauss shows the irreducibility of the pth cyclotomic polynomial hp(x) = xP -I + ... + x + 1 (p an odd prime) over the rationals.
The proof consists of four parts.
The simple fact that a real polynomial with complex root z also vanishes for the conjugate z reduces the proof to its first part.
We discuss the conjecture that Gauss originally aimed at the irreducibility of hp(x) over a larger, not necessarily real, field K of coefficients.
From this point of view, Gauss' proof appears completely natural, as is shown for K = ~(i).
Dans l'article 341 des Disquisitiones Arithmeticae
C. F. Gauss montre l'irreductibilit6 du polynome cyclotomique hp(x) = xP-I + ... + x + 1 (p premier impair) sur le corps des nombres rationnels.
La demonstratlon consiste en quatre parties.
Cependant, en observant simplement que si zest racine d'un polynome r6el alors le hombre conjugu~ ~ l'est aussi, la d6monstratipn peut etre r~duite ~ la premiere partie.
On discutera l'hypo-th~se qu'au fond Gauss a vlse l'irreductlblllte de hp(x) sur un corps K plus large et non necessa2rement r~el. En consid~rant l'exemple K = ~(i) on montrera que sous cet aspect la d~monstration de Gauss parait tres naturelle.