Zufällige Mengenfunktionen

✍ Scribed by Antonín Špaček

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1955
• Tongue: English
• Weight: 327 KB
• Volume: 14
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19550140414

✦ Synopsis

Diese Arbeit enthalt einige Resultate aus der Theorie der zufalligen Mengenfunktionen, die eng mit den bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen zusammenhangen. Ein sofort ersichtliches Merkmal der zufiilligen Mengenfunktionen ist ihr Definitionsbereich. Dieser ist eine a-Algebra von Teilmengen eines fest gegebenen Raumes. Der Inbegriff des Raumes aller in dieser a-Algebra definierten reellen Mengenfunktionen einer geeignet gewahlten a-Algebra zufalliger Ereignisse und eines in ihr definierten WahrscheinlichkeitsmaBes heifit eine zufallige Mengenfunktion. Nach [9] sieht man sofort ein, daB es sich um einen Spezialfall einer zufalligen Transformation handelt. Nach der Terminologie von DOOB [2] ist eine zufallige Mengenfunktion im wesentlichen ein stochastischer ProzeB vom Funktionenraumtypus.

In den Anwendungen spielen die zufalligen Mengenfunktionen eine wichtige Rolle, so daB deren Eigenschaften einer eingehenderen Untersuchung wert sind.

SO

ist z. B. fur die Theorie der statistischen Entscheidungsfunktionen oft die Beantwortung von Fragen der folgenden Art nutzlich : Unter welchen Voraussetzungen ist eine zufiillige Mengenfunktion fast sicher ein Wahrscheinlichkeits-maB? Eine Antwort auf diese Frage ist in $ 1 dieser Arbeit enthalten. In 2 wird hauptsachlich das Problem der Differenzierbarkeit zufiilliger Mengenfunktionen in bezug auf ein fest gegebenes WahrscheinlichkeitsmaB gelost und zwar in dem Sinne, daB eine gewisse wahrscheinlichkeitstheoretische Form des Satzes von RADON-NIKODYM fur zufallige Mengenfunktionen bewiesen wird. Die Ableitung einer zufiilligen Mengenfunktion in bezug auf ein festes Wahr-scheinlichkeitsmaB ist eine fast sicher im Lebesgueschen Sinne integrierbare zufiillige Pun ktfunktion . Der formalen Definition einer zufalligen Mengenfunktion wollen wir zuniichst einige Hilfsbemerkungen und Erklarungen vorausschicken. Es sei X 0 und G eine a-Algebra von Teilmengen von X, die den ganzen Raum X enthiilt. In 6 sei ein WahrscheinlichkeitsmaB v , d. h. eine nicht-negative und a d d i t i v e Mengenfunktion mit der Eigenschaft v ( X ) = 1 fest gegeben. Es wird sich als zweckmiiBig erweisen, WahrscheinlichkeitsmaBe auf Algebren von Teilmengen von X, die ebenfalls den ganzen Raum X enthalten, in sonst iiblicher Weise zu definieren. Falls mit ' 2l C G eine solche Algebra bezeichnet wird, die auBerdem noch eing Basis von G bildet, so kann jedes in ' 2l definierte Wahr-scheinlichkeitsmaB eindeutig auf-G erweitert werden. Das ist eine aus der MaBtheorie wohlbekannte Tatsache.