Verschiedene Topologisierungen im Raum der abgeschlossenen Mengen

✍ Scribed by Jürgen Flachsmeyer Zur Zeit

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1963
• Tongue: English
• Weight: 990 KB
• Volume: 26
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19630260602

✦ Synopsis

Fiir einen topologischen Raum ( X , 3 )wir schreiben vielfach auch nur das System aller abgeschlossenen Mengen von X, So das 3bezeichne System aller nicht leeren abgeschlossenen Teilmengen von X. 1. Die Topologien 3, und TT in 8 bzw. s,, AnlaB zu dieser Untersuchung gibt die in [6] behandelte Frage. Unter Benutzung des verhefteten Punktepaares F, d. h. des zweipunktigen topologischen Raumes F = (0, i} mit den offenen Mengen 0, (0) und (0, I}, kann man jede abgeschlossene Menge A E S mit einer stetigen Funktion von X in F identifizieren und umgekehrt, indem man namlich jeder abgeschlossenen Menge A ihre charakteristische Funktion x A zuordnet. Auf diesen Umstand haben schon ARENS und DTJGUNDJI in [2] aufmerksam gemacht. Wir knupfen hier mehr systematische Betrachtungen an. Bei dieser Auffassung der abgeschlossenen Mengen A als stetige Funktionen xvon X in den Raum F bezeichnen wir 8 als X* (F), So als X,* ( F ) , weil wir niimlich schon rein auBerlich die Verbindung zum Begriff des dualen Raumes, wie er in der Theorie der linearen Raume ublich ist, zum Ausdruck bringen wollen. Die beiden Topologien 3, und TT lassen sich nun ganz im Rahmen von Funktionentopologien einfiihren, genauer : 3 ' ' und rT erscheinen als gewisse ,,set-open" Topologien im Sinne von ARENS-DUGTJNDJI [2] fur X* (F). 3, (simple Funktionentopologie) in X * ( F ) : Eine offene Subbasis in X* ( F ) bilden die Funktionenmengen ( E , 0) = (xB I z B EX* (F) , x B ( E ) C 0 ) , E endliche Teilmenge von X und 0 offene Menge von F. Offenbar ist hierbei schon das System der ( E , (0)) (kurz ( E ) ) ; E endliche Teilmenge von X , eine Basis v o n 3 , . Bekanntlich bedeutet (X* (F), T 8 ) nichts anderes, als daB man X* (F) als Relatiaaum des Produktraumes F X interpretiert. l) Unter dem Titel ,,PaaJISl ¶HbIe TOIIOJIOI'H3arlSlH lTpOCTpWiCTBa 3aMKIiYTbIX MHOMeCTB" hat Verfasser den groaten Teil der Ergebnisse am 19. Dezember 1962 im ALEXANDROFF-Seminar vorgetragen.