We prove that a group, which is the extension ofa nilpotent torsion group by a soluble group of finite exponent and all of whose subgroups are subnormal, is nilpotent. The problem can be easily reduced to the investigation of extensions of abelian torsion groups 1by elementary abelian p-groups with all subgroups of these extensions subnormal.
In [2] wurde gezeigt, dab eine aufl6sbare Gruppe yon endlichem Exponenten, deren Untergruppen alle subnormal sind, nilpotent ist. Wir verallgemeinern nun dieses Ergebnis, indem wir folgendes beweisen: Eine Gruppe, die die Erweiterung einer nilpotenten Torsionsgruppe durch eine aufl6sbare Gruppe von endlichem Exponenten ist, und deren Untergruppen alle subnormal sind, ist nilpotent. Wegen [2, (2.6)] kSnnen wir uns beim Beweis auf die Untersuchung yon p-Gruppen beschr/inken. Weiterhin kSnnen wir einen Induktionsbeweis ffihren und daher annehmen, dab die Faktorgruppe elementarabelsch ist. SchlieSlich kSnnen wir wegen eines bekannten Satzes von P. Hall den nilpotenten Normalteiler durch einen abelsche.n ersetzen. Unser Ziel ist es also, zun~ichst das folgende zu zeigen: Eine p-Gruppe, die die Erweiterung eines abelschen Normalteilers durch eine elementarabelsche p-Gruppe ist, und deren Untergruppen alle subnormal sind, ist nilpotent.
Unser erstes Lemma zeigt insbesondere, dab in Gruppen, deren Untergruppen alle subnormal sind, das Erzeugnis eines nilpotenten Nomalteilers und endlich vieler Elemente wiederum nilpotent ist. (1) LEMMA. Sei N ein nilpotenter Normalteiler, und sei U eine nilpotente, subnormale Untergruppe der Gruppe G. Dann ist UN nilpotent. Beweis. Sei U o = UN und Ui = U v'-I ffir aUe i~ N. Da U subnormal in G ist, ist es auch subnormal in UN. Also existiert ein n e N mit U, = U. F/ir ein i e {1 .... , n} sei U s nilpotent. Dann sind U s und Ui_ 1 c~N nilpotente Normalteiler von U s_ 1-Weiter gilt Ui_ 1 = Ui_ 1 c~ UN = (Ui_ 1 c~N)U <. (U~_I c~N)Ui <~ Ui-1, also U~_ 1 = (Us-1 c~ N)Uv Folglich ist auch U i_ 1 nilpotent. Per Induktion folgt, dab U o = UN nilpotent ist. Im folgenden Lemma wird der Begriff 'Klasse' nur im mengenthe.oretischen Sinn gebraucht. Das Lemma ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von C. J.