On sait depuis Wiener [14] et m&me Birkhoff [l] que deux sortes de theoremes de convergence presque-sure sont susceptibles de la m&me demonstration: les theoremes de derivation (type Lebesgue) et les theoremes ergodiques (type Birkhoff).
Dans [4], Dunford et Schwartz ont etendu ces resultats dans la direction des semi-groupes ?i un ou a plusieurs parametres d'operateurs positifs ou non, mais qui sont des contractions simultanCment dans IL1 et dans IL".
Toutes ces considerations reposent habituellement sur I'existence de certaines fonctions dites "maximales" qui s'etablit grlce au lemme de recouvrement de Vitali dans [14], grtice au lemme maximal de Hopf dans [4].
Le but de cet article est de montrer comment la theorie des resolvantes permet d'unifier et de simplifier tous ces raisonnements.
On montre dans la section I un theorbme devant jouer le role de lemme ergodique maximal et qui s'interprete naturellement comme extension du principe de domination. On en deduit l'existence de fonctions maximales (no 7).
En faisant tendre le pararnere A vers fco, on obtient des theoremes de derivation dans la section II. De la m&me man&e, en faisant tendre h vers 0, on obtient des theoremes ergodiques dans la section III. On obtient un resultat de convergence un peu plus fort que la forme abelienne du theoreme de Chacon-Ornstein, grace a un rafhnement de la forme abelienne du lemme de Brunel.
Signalons que d'apres un resultat de l'auteur f7], toute rbolvante complexe est un cas particulier dune resolvante positive: tous les thCorCmes de convergence sont done encore valables saris nouvelle demonstration.
La section IV est une application des theoremes de derivation: toute resolvante sous-markovienne de noyaux est transformee de Laplace dun semi-groupe de contractions positives de l'espace gm, et ces contractions sont "presque des noyaux". Ceci g&ralise un thCor&me de Ray (cf. [9, p. 2671).
On a partout suppos6 les mesures a-finies et les noyaux ou pseudo-noyaux propres, c'est-a-dire strictement positifs: ce n'est pas vraiment une restriction.