Theory of diffusion for discrete media—part I simple one-dimensional motion
✍ Scribed by Roger Kelly
- Publisher
- Elsevier Science
- Year
- 1964
- Weight
- 617 KB
- Volume
- 12
- Category
- Article
- ISSN
- 0001-6160
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✦ Synopsis
Although diffusive motion in discrete media suoh SB crystalline solids is generally tret&ed 88 if the media were continuous, problems f 73 of dif&ion theory valid speo uently arise where it would be advantageous to have access to.6 speoies tally for disorete media. Examples include studies of dii%rsion or heat condrmtion on an atomic scale, and also studies where diffusion or best conduction on any scale are tiW8ted by numerical or analog procedures It is shown in the present work that diffusion theory for discrete media is actually fairly easy to set up. In the particular case of simple.one-dimensional motion, it turns out that the governing equation is d.M&t = -kMr + (k/Z)(M,_, + M,,,), where M, is concentmtion, r is position, and k is the di%sion ~&e constant. One group of solutions involves terms of the type A-e-~?l,,(kt), where the method of images can be used to eVSbh18~ the constant A,,,. The other group of solutions involves term with separated variables, exp[ -(1 -COB rr,)kt]{A, sin u,,,r + B, COB UJ), where the various constants ten be evaluated by considering the boundary conditions end by making use of the orthogonality Of @31%8in 8um8. If the diffusion theories for discrete and continuous media are compared, it is found thet the theories agree well (as one would expect) whenever the ditbrsing material makes many mom jumps than are required for the distance trevelled. Conversely, the theories diverge when the number of jumps is comparable to the distance travelled, or, alternatively, when the diffiion oocurs on an atomic scale. THEORIE DE LA DIFFUSION DANS LES MILIEUX DISCRETS lere PARTIE-MOUVEMENT SIMPLE A UNE DIMENSION Malgr4 que le problitme du mouvement par diffusion drms lee milieux dir& t.els que lee solides cristallius, est generalement tmiti comme si les milieux Btaient continus, des problemes apparaissent frequemment ou i sersit evantageux de disposer d'une espece de theorie de diffusion valable sp&ifiquement pour les milieux discrete. Les exemples cornportent notamment les etudes de diffusion ou de conduction de ohaleur sur une Bchelle atomique et aussi des etudes oh Is, diffusion ou la conduction de chaleur B toute Bchelle sent trait&s par des pro&d&s numeriques ou analogizes. L'auteur montre dens le p&sent travail que la th&wie de diiIusion dans les milieux discrets peut. en fait, etre Btablie relativement ais$ment. Dans le cas particulier du mouvement simple a uue dimension? il s'avere que l'tsquation de base est dM,/dt = -k Mr + (k/2)(N,_l + M,,,) oti MI, est la concentration, r la position et k la con&ante de la vitesse de diffusion. Un groupe de solutions comporte des termes du type A,e-L~~,+,,,(kt), oh la methode des images peut Btre utilisee pour Bvaluer la constante A,. L'autre groupe de solutions comporte des termes avec des variables sepa&es, [ex -_(l -cos a,&]{&, sin a,,,r + B, cos a,r) ou les diverses con&antes peuvent Btre &al&es en considerant ies conditions de limite et en faisant usage de l'orthogonalite de certaines sommes. Si l'on compare lee theories pour les milieux discrets et eontinus, on trouve que les theories s'&ccordent bien (comme on pourrait s'y attendre) chaque fois que l'espece qui diffuse effectne beaucoup plus de sauts qu'il n'est n&essaire pour la distance paroourue. Reciproquement, lee theories divergent quand Ie nombre de sauts est comparable 8. la distance parcoum, QU alternativement, quand la diffusion a lieu Q une Bchelle atomique.