During the last thirty years, symplectic or Marsden-Weinstein reduction has been a major tool in the construction of new symplectic manifolds and in the study of mechanical systems with symmetry. This procedure has been traditionally associated to the canonical action of a Lie group on a symplectic manifold, in the presence of a momentum map. In this Note we show that the symplectic reduction phenomenon has much deeper roots. More specifically, we will find symplectically reduced spaces purely within the Poisson category under hypotheses that do not necessarily imply the existence of a momentum map. In other words, the right category to obtain symplectically reduced spaces is that of Poisson manifolds acted upon canonically by a Lie group. To cite this article: J.-P. Ortega, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 999-1004. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Les espaces réduits symplectiques d'une action de Poisson Résumé
Pendant les trente derniers années, la réduction symplectique (aussi appelée de Marsden-Weinstein) a joué un rôle majeur lors de la construction de nouvelles variétés symplectiques et dans l'étude des systèmes mécaniques symétriques. Ce procédé a été traditionnellement associé à l'action canonique d'un groupe de Lie sur une variété symplectique, en présence d'une application moment. Dans cette Note, nous montrerons que le phénomène de la réduction symplectique a des racines beaucoup plus profondes. Plus spécifiquement, nous trouverons des espaces réduits symplectiques à l'intérieur de la catégorie des variétés de Poisson sous des hypothèses qui n'impliquent pas forcément l'existence d'une application moment. Autrement dit, la catégorie la plus générale pour l'obtention des espaces réduits symplectiques est celle des variétés de Poisson munies de l'action canonique d'un groupe de Lie. Pour citer cet article : J.-P. Ortega, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 999-1004. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Soit (M, {•, •}) une variété de Poisson et G un groupe de Lie qui agit sur M d'une façon canonique et propre. Soit A G la distribution lisse et intégrable sur M définie par l'identité A
l'ensemble des fonctions lisses G-invariantes sur M et X f est le champ de vecteurs hamiltonien associé à la fonction f . L'application moment optimale J : M → M/A G a été définie en [12] comme la projection canonique de M sur l'espace des feuilles M/A G de A G .