The closed-form analytical solution is obtained for the dynamic response of an infinite plate. The plate may be subjected to arbitrary initial conditions and loading. The problem is formulated in accordance with the classical (Lagrange) plate theory and the simultaneous effects of an elastic foundation (Winkler), damping (proportional to the transverse velocity), and a uniform in-plane loading (compressive or tensile; however, less than the buckling load) are considered. The values of the descriptive parameters are arbitrary, but it is possible to define subcritical, critical and supercritical damping in analogy to a simple, damped spring-mass system. It is shown that the steady-state solutions dealt with in several papers may be obtained by a formal passage to the limit as time tends to infinity in the transient solution. It must be emphasized that closed form solutions for the dynamic response of infinite plates previously given in the literature are degenerate eases of the general solution obtained here. In addition, its validity for arbitrary time-dependent loading is of interest, in particular, distributions and time dependent loads moving with an arbitrary velocity, may be introduced, where previously even a constant force, moving with a constant velocity, presented serious difficulties.
ZUSAMMENFASSUNG
Die geschlossene analytische LOsung ffir die Response einer unendlichen, elastischen Platte wird gefunden. Die Anfangsbedingungen und die Belastung der Platte kOnnen willkfirlich angenommen werden. Das mathematische Modell ist das der klassischen (Lagrange) Plattentheorie, modifiziert durch die zusatzlichen Einwirkungen einer elastischen Unterlage (Winkler), viskoser Dampfung (ira Verhaltnis zur Geschwindigkeit eines Plattenpunktes), und einer gieichmassigen, in der Flache liegenden Belastung (Stoss-oder Zugkraft; weniger als die Knicklast). Die Werte der Problemparameter kOnnen willkiirlich angegeben werden; ausserdem ist es mOglich unter-kritische, kritische und iiberkritische Verhaltnisse zwischen der Dampfungs-und der Bettungskonstanten zn geben, in Analogie mit einem einfachen, gedampften Schwingungsssystem. Es wird gezeigt, dass die sogenannten 'Steady-State' LOsungen, welche von mehreren Autoren gegeben werden, als Limes des Anfangswertproblems nach unendlich langer Zeit erreichbar sind. Es muss betont werden, dass die bisher gegebenen geschlossenen L6sungen fiir die Response unendlicher Platten als Nebenffille in der gegenwartigen LSsung enthalten sind. Zusatzlich ist von Interesse die Anwendbarkeit der L~sung auf willkfirliche, zeitvariierende Belastung, insbesonders Distributionen und zeitlich variierende Krafte, die sich mit willkiirlicher Geschwindigkeit fortbewegen. Dies, angesichts der Tatsacbe, dass bisher sogar der Fall einer konstanten, gleichmfissigen Last, die sich mit konstanter Geschwindigkeit rektilinear fortbewegte, ernstliche Schwierigkeiten bereitete.