β Scribed by M.A. Fortes
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Using the unit operations that produce arbitrary topological transfo~ations in a 4-connected space-filling structure of trivalent convex polyhedra it is shown that the average number of faces, F, in the individual cells (grain boundaries in isolated grains) cannot be smaller than eight. This result applies when the number of polyhedral cells in the structure is very large in all directions in space. In finite structures, F can be smaller than eight, but, if all topological elements are saturated to form a hyperpolyhedron, F cannot be smaller than four. Finally, it is shown that there is no upper limit to F in a 4-connected structure (saturated or unsaturated).
Risk&---En utilisant les op&ations unitaires qui produisent des transformations topologiques arbitraires dans une structure remplissant I'espace a connection 4 de polyedres convexes trivalents, nous montrons que le nombre moyen de faces F dans les mailles individuelles (joints de grains dans des grains isolts) ne peut pas Ctre inferieur 1 huit. Ce rtsultat s'applique lorsque le nombre de cellules polyedriques de la structure est trts grand dans toutes les directions de l'espace. Dans les structures times, F peut etre infirieur a huit, mais, si tous les elements topologiques sont saturts pour former un hyperpolyidre, F ne peut pas etre inferieur a quatre. Finalement, nous montrons qu'il n'y a pas de Iimite superieure pour F dans une structure a connection 4 (saturee ou non saturee).
Einheitsoperationen, die beliebige topologische Umwandlungen in einer 4-verbundenen raumfiillenden Struktur von dreiwertigen konvexen Polyedern erzeugen, wird gezeigt, dab die mittlere Anzahl von Fllchen F in den einzelnen Zellen (Kornerenzen in isolierten Kornernl nickt kleiner als acht sein kann. Dieses Ergebnis gilt, wenn die Zahl dir Polyederzellen in der Struktur in samtliche richtungen sehr grol3 ist. In endlichen Strukturen kann F kleiner als acht sein. Alierdings kann F nicht kleiner als vier werden, wenn alle topolo~schen Elemente abgesattigt sind und ein ~yperpolyeder formen. SchlieBlich wird gezeigt, da13 es fui' F in einer 4-verbundenen Struktur (abgeslttigt oder nicht abgelattigt) keine obere Grenze gibt.
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