In der vorliegenden Arbeit werden Ergebnisse der komniutativen Algebra ver allgemeinert. Fur Linksvektorrnoduln uber einem nichtkoniniutativen Ring wird ein Modulquotient erklart, der es gestattet zu definieren, wann ein Ringelement r relativ prim zu einem Modul M ist. Aus einer Syzygienkette von M wird dann auf einfache Weise eine Syzygienkette von M + R k . r gewonnen. Weiter wird der Begriff der Primsequenz definiert und untersucht, wann die Eleniente einer hE-Algebra g eiiie Primsequenz in der Einhiillenden Ug bilden.
1. Vorbemerkungen und grundlegende Begriffe
Es sei R in1 folgendrn ein nicht notwendig kommutativer Ring mit Einselement 1. R sei zumindest linhnoethersch, d. h., die Menge der Linksideale von R genuge der aufsteigenden Kettenbedingung. Wie in der koinmutativen Algebra ist dann jedes Linksideal von R endlich erzeugbar. Es werden weiter Linksvektormoduln2) uber R betrachtet. Ein solcher k-reihiger Vektormoduls) M ist ein Teilrnodul des freien Moduls F = @ R, wobei hier R der Ring R betrachtet als R-Linksmodul sein soll. Ein Element von M 1aBt sich dann als k-reihiger ,,Vektor" k j=1 (al ... ak) niit aj E R fiir 1 5 j 5 k schreiben. Um die Syzygientheorie mit Matrizen heschreiben zu konnen, empfiehlt sich fur Linksvektornioduln die Schreibweise mittels Zeileflvektoren. 8% gelten die Verkniipfungscorschriften: ( I r l . . . a k ) & (b, . . . bk) = (a, A b, a .. a k & b k ) r . (a, ... uk) = (ra, ... ruk) fiir r E R (a, ... ak) . r = (nlr ... akr) fur r E R. I ) Die vorliegende Arbeit stellt im wesentlichen einen Auszug aus der Dissertation [l] des 2, Wegen der einhcitlichen Beschreibung durch Matrizen mit Elementen aus R wird sich auf 3, Der Einfachheit halber sol1 fortan kurz Modul fur Linksmodul uber R stehen, es sei denn, Verfassers dar. Vektormoduln beschrankt. es soll betont werdcn, da13 ein solcher vorliegt.