Sur l'effectivité du théorème de Siegel et la conjecture abc

✍ Scribed by Andrea Surroca

• Publisher: Elsevier Science
• Year: 2007
• Tongue: English
• Weight: 258 KB
• Volume: 124
• Category: Article
• ISSN: 0022-314X
• DOI: 10.1016/j.jnt.2006.09.008

✦ Synopsis

Nous montrons qu'un raffinement du théorème de Siegel sur les points entiers de courbes algébriques impliquerait la conjecture abc de Masser-Oesterlé. Nous formulons une hypothèse « Siegel uniforme » qui est une majoration de la hauteur des points S-entiers de la courbe, en termes du corps de rationalité et de l'ensemble de places S. La validité de l'hypothèse pour une quelconque courbe algébrique de caractéristique d'Euler-Poincaré strictement négative, impliquerait une version de la conjecture abc. Ceci étend aux points S-entiers des résultats précédents de L. Moret-Bailly [L. Moret-Bailly, Hauteurs et classes de Chern sur les surfaces arithmétiques, Astérisque 183 (1990) 37-58], et est en quelque sorte, un énoncé réciproque de ce que nous avons montré dans [A. Surroca, Siegel's theorem and the abc conjecture, in: Proceedings of the Secondo Convegno Italiano di Teoria dei Numeri, Parma, November 2003, Riv. Mat. Univ. Parma (7) (2004) 323-332], en suivant les idées proposées par N. Elkies [N.D. Elkies, ABC implies Mordell, Int. Math. Res. Not. 7 (1991) 99-109]. Le principal outil géométrique employé est un théorème de G.V. Belyȋ. Nous montrons aussi quelques versions inconditionnelles de ces énoncés : un résultat allant dans le sens de la conjecture abc, valable sur tout corps de nombres, ainsi que des bornes pour la hauteur des solutions en S-entiers de certaines équations diophantiennes classiques.