Reeu et accepte Ie 12 aofit 1998)
Resume. Nous donnons une version q-analogue de l'asymptotique Gevrey et de la sommabilite de Borel, dues respectivement a G. Watson et E. Borel et systematiquement developpees par loP. Ramis, Y. Sibuya, etc. depuis une quinzaine d'annees, Le but de ces auteurs etait l'etude des equations differentielles dans Ie champ complexe. De meme, notre but est I'etude des equations aux q-differences dans Ie champ complexe, dans la ligne de G.D. Birkhoff et W.J. Trjitzinsky [7]. Plus precisement, nous introduisons une nouvelle notion d'asymptoticite que nous appelons developpements asymptotiques q-Gevrey d' ordre 1. Elle est adaptee a la classe des series entieres q-Gevrey d'ordre 1. Nous definissons ensuite la classe des series entieres Gq-sommables d'ordre 1 et nous en donnons une caracterisation en termes de transformations de Borel et de Laplace q-analogues. Nous montrons que toute serie entiere, solution formelie d'une equation aux q-differences lineaire Ii coefficients analytiques, est Gq-sommable d'ordre 1 lorque Ie polygone de Newton de l'equation possede une seule pente egale a 1. Une generalisation de ce travail fera l'objet d'une Note ulterieure .