Sur la Classe Des Ordinaux Appartenant À un Univers et Univers Bien Ordonnés
✍ Scribed by Constantino M. de Barros
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1970
- Tongue
- English
- Weight
- 777 KB
- Volume
- 16
- Category
- Article
- ISSN
- 0044-3050
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✦ Synopsis
SUR LA CLASSE DES ORDINAUX APPARTENANT A UN UNIVERS ET UNIVERS BIEN ORDONN~S par CONSTANTINO M. DE BARROS b Rio de Janeiro (BrBsil) Par un prochd6 quiremonte B la thBorie des chahes de DEDEKIND [5] et B la deuxikme dhmonstration donnBe par ZERMELO [lo] pour son thBorkme du bon ordre, on Btablit deux rBsultats (thBor8mes 1 et 2) avec l'aide desquels on dbduit d'autres rbsultats. Les thBorkmes 3, 4 et le corollaire 6 donnent des caractBrisations de la classe des nombres ordinaux appartenant B un univers. La caractBrisation indiquBe dans le thBorbme 3 est analogue 8, ceUe donnee par VON NEUMANN pour l'ensemble des nombres naturels et Q celle dGe B ZERMELO (Cf. [l], p. 19) pour Ies nombres ordinaux. Dans le dernier paragraphe, sans faire usage de la thBorie des nombres cardinaux inaccessibles, on montre les rapports entre les classes consid6rBes par TARSKI [8], [9] et les univers. Les rBsultats Btablis s'appliquent en particulier B la classe universelle V de la thBorie d'ensembles de VON NEUMANN-BERNAYS-GODEL [6]. Etant donne que les rhsultats Btablis dans ce travail sont encore valables pour des theories d'ensembles qui admettent des objets appelBs classes, plus gBnBraux que des objets appelBs ensembles, toutes les variables de la thBorie d'ensembles consid6rBe dans ce travail dBsigneront des classes. On admet pour thBorie logique sous-jacente le calcul fonctionnel du premier ordre avec BgalitB . La terminologie, les notations et les conventions sont, eventuellement avec des adaptations Bvidentes, celles de N. BOURBAKI [2]. 1. On admetera les cinq axiomes suivants: (Al) L'axiome de l'extensionalit6 vz, y(Vz(2 E x o 2 E y) * z = y). Cet axiome exprime que si deux classes ont les m&mes BlBments, elles sont Bgales. (A2) L'axiome de l a classe vide 3xVy(-y E x). La classe dBfinie par cet axiome est la classe vide et sera nothe c). (A3) L'axiome de l'union v x 3 yv 2 ( 2 E y o 3 t ( 2 E t & t E x))
.
Cet axiome exprime que si x est une classe, la rBunion des cIasses appartenant B z est une classe. On note U x cette classe.