We prove that finitary symplectic group FSp(V, f) is a simple group, provided (V, f) is a regular symplectic space of infinite dimension over a field of characteristic ~ 2. On the other hand, when (V,, f) is not regular, FSp(V, f) cannot be simple because it contains FSpo(V, f), the normal subgroup of elements of FSp( V, f) acting trivially on rad(V, f), as a normal subgroup. In the non-regular case we show that even FSpo(V, f) is not a simple group.
O. INTRODUZIONE
Sia V un K-spazio vettoriale, K campo, di dimensione infinita. Se V e' dotato di una forma simplettica f, la coppia (V, f), talvolta, per brevitfi, V stesso, si dice uno spazio simplettico sopra K eil gruppo di tutte le isometrie invertibili di (V, f) si chiama il gruppo simplettico Sp(V, f).
Le isometrie invertibili di (V, f) che agiscono come l'identit/t su rad(V, f) = {z ~ V/f (z, v) = 0, Vv ~ V}, costituiscono il gruppo delle isometrie strette di (V, f), che denoteremo con il simbolo SPo(V, f).
Una trasformazione lineare invertibile z di V si dice una trasvezione se V(z-1)2= (0) e se V(z-1), il centro di z, ha dimensione uno. Fra le isometric di Sp(V, f) hanno particolare interesse quelle, z(~, u), ~K-{0}, u ~ V, cosi definite
Una tale isometria 6 non banale see solo se u Β’ rad(V, f): in tal caso, z(y, u) si dice una trasvezione simplettica di centro (u) e asse
Si osservi the z(7, u)~ Spo(V, f); inoltre ogni trasvezione di Sp(V, f) con centro Β’ rad(V,f) 6 una trasvezione simplettica della forma z(y,u) per qualche u Β’ rad(V, f).
Sia TSp(V,f)= (z(y,u)/uq~rad(V,f), y~K-{0}); TSp(V,f) 6 un sottogruppo di Sp(V, f), contenuto in Spo(V, f), detto il gruppo delle trasvezioni simplettiche; se p ~ Sp(V, f), si verifica subito the
p~(~, u)p-1 = ~(7, p(u))
e tale formula mostra che TSp(V, f) 6 un sottogruppo normale di Sp(V, f).
La trasformazione lineare g del K-spazio vettoriale V si dice finitaria se V(g -1) ha dimensione finita.