2.1. Algebren rnit einem Schema von Operatoren
Die Weiterfiihrung und Vertiefung der vorstehenden Retrachtungen uber UooLEsche Algebren und ihre Einordnurig in die allgemeine Algebra machen es notwendig, universale Algebren mit mehreren Tragermengen (Basismengen) auzulassen. Unabhangig voneinander haben P. J. HIWINS [36], J. BANABOU [l] und G. B. RIRKHOFF-J. D. LPSON [4] aquivalente Theorien mehrbasiger Algebren entwickelt. In dieser Weise ist es insbesondere moglich, Theorien fur kleine Kategorien (als mehrbasige Algebren betrachtet) zu bilden und so die strukturellen Eigenschaften solcher Kategorien zu erfassen. Wir beschreiben hier einen weiteren, mit, den obengenannten Ansiitzen Lquivalenten Ansatz, der formal von besonderer Einfachheit ist (H.-J. HOEHNKE [6], Anhang 2: Algebra).
Das Literaturverzeichnis findet sich am RchluB von Teil 111.
Es sei J eine Menge, H = (I?, @ , I) daa von J frei erzeugte froie Monoid mit der biniiren Operation @ und dem Einselement Z. Es bezeichne Q eine Menge von Tripeln der Form (A, B, p ) mit A E H, BE J ; p ist Element irgendeiner Menge (Q kann z. B. Tripe1 (A, B, p ) , (A, B, q) mit p + q enthalten).
Dann heiBt das Paar S = (J, Q) ein Operatorenschema mit den Operatoren (A, B, p ) = g E G, die auch in der Form g: A -. B ( A E H , B E J) geschrieben werden. Offen bar Bind Operatorenschemata verwandt mit Semithue-Systemen.
Fur A @ B wird mitunter auch kurz A B geschrieben.
Es sei @ = (QJ, QQ) ein Paar von Abbildungen QJ : J -+ ob Ens Q G : Q -+ Ens (genauer sei QG eine Abbildung in die Morphismenklmse der Kategorie Ens der Mengen), so da13 fur g :