We construct a Stratonovitch-Skorohod-like stochastic integral for general Gaussian processes. We study its sample path regularity and one of its numerical approximating schemes. We also analyze the way it is transformed by an absolutely continuous change of probability and we give an Itô formula. To cite this article: L. Decreusefond, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 903-908. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Intégrale stochastique pour les processus gaussiens Résumé Nous construisons une intégrale stochastique du type Stratonovitch-Skorohod, pour les processus gaussiens généraux. Nous montrons qu'elle peut être approchée par des sommes de type Stratonovitch et nous établissons sa régularité trajectorielle. Nous étudions aussi la façon dont elle se transforme lors d'un changement absolument continu de probabilité. Nous montrons enfin que la formule d'Itô-Stratonovitch est vérifiée. Pour citer cet article : L. Decreusefond, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 903-908. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée
De nombreux auteurs se sont attachés à construire les fondements d'un calcul stochastique pour le mouvement brownien fractionnaire. Les diverses approches peuvent être séparées en deux principales catégories : celles qui reposent sur les propriétés trajectorielles de ce processus [7,8,16] (notamment la continuité au sens de Hölder de ses trajectoires) et celles qui utilisent sur son caractère gaussien. Ces dernières sont basées sur la représentation B H (t) = t -∞ K H (t, s) dB s où K H est un noyau déterministe. L'expérience des calculs faits pour le mouvement brownien fractionnaire montre qu'il est ardu de travailler directement avec des hypothèses sur le noyau K H mais qu'il est plus aisé et plus informatif de travailler avec les propriétés de l'opérateur intégral canoniquement associé à ce noyau.
Pour un noyau déterministe qui satisfait l'Hypothèse I (voir plus bas), on considère le processus X t = t 0 K(t, s) dB s . Compte-tenu des résultats de [4], on sait que X a une version à trajectoires p.s. continues. Par conséquent, l'espace de Wiener sur lequel nous travaillons, est = C 0 ([0, 1]; R), l'espace de Cameron-Martin est K(L 2 ([0, 1]) et P est la probabilité sur qui fait du processus canonique, X, un