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ASPECTS OF EULER'S THEORY OF SERIES 291
Le proble me d'interpolation de Wallis attira l'attention du jeune Euler, qui obtint rapidement des re ´sultats de grand inte ´re ˆt. Il amena Euler a formuler le proble me d'inte ´gration consistant a exprimer le terme ge ´ne ´ral d'une se ´rie par une inte ´grale. Ce dernier proble me se transforma rapidement en celui d'exprimer la somme d'une se ´rie par une inte ´grale, menant a la formule appele ´e de nos jours la formule d'Euler-Mac Laurin. Euler reprit ulte ´rieurement le proble `me d'interpolation, formulant la the ´orie des fonctions ''inexplicables'' qui incluent en particulier la fonction Gamma.
Les me ´thodes utilise ´es par Euler ont un grand inte ´re ˆt pour comprendre l'analyse du XVIIIe sie cle. En effet, a la base des proce ´dures eule ´riennes, on trouve la notion de quantite ´ge ´ome
´trique, qui implique que la fonction, comprise comme une expression de cette quantite ´, posse de intrinse quement certaines proprie ´te ´s-en langage moderne la continuite ´, la diffe ´rentiabilite ´, le de ´veloppement en se ´ries de Taylor-correspondant aux proprie ´te ´s typiques d'une courbe dote ´e de re ´gularite ´-ne pas faire de sauts, avoir une tangente, un rayon de courbure. Ces proprie ´te ´s e ´taient e ´videntes pour les courbes commune ´ment e ´tudie ´es, une e ´vidence pour ainsi dire figurale. L'analyse eule ´rienne conserve un important contenu ge ´ome ´trique, mais e ´limine la repre ´sentation figurale: concre ˆtement, elle apparaı ˆt comme une ge ´ome ´trie non figurale. Le raisonnement sur la figure, qui, dans la ge ´ome ´trie classique, inte ´grait la de ´monstration, est ici remplace ´par le raisonnement sur les symboles analytiques: ceux-ci sont ge ´ne ´raux parce qu'ils ne repre ´sentent pas une quantite ´particulie re et ne sont pas soumis a des restrictions, mais sont une repre ´sentation abstraite de la quantite ´.