An analytical approach to equiaxed dendritic solidification is proposed. Assuming that microstructure formation in metallic alloys is controlled mainly by solute diffusion, simple relationships are deduced from a solute balance made at the scale of a single dendritic grain. When the interdendritic liquid region is approximated by a spherical envelope, it is found that the internal volume fraction of solid, f;, within the envelope is given by f; = n.g(Pe), where Q is the supersaturation and g(Pe) is a function of the P&let number of the grain. Furthermore, the solute layer thickness, 6, outside of this envelope of complete mixing is the same as that for a planar front, i.e. 6 = 2. D/r, where v is the growth rate of the dendrite tips and D is the solute diffusivity. Coupling the relationships for f; and 6 to a thermal balance and to a kinetics law then permits a full description of equiaxed dendritic ~Iidification. The results are compared with more precise, but also more tedious numerical calculations, which have recently been published.
R&am&-Une approche analytique de la solidification equiaxe dendritique est proposee. En supposant que la formation de la microstructure des alliages mbtalliques est controllee principalement par la diffusion de solute, des relations simples sont dtrivtes a partir dun bilan de solute a l'tchelle d'un seul grain dendritique. Considerant que le grain croit a l'intbrieur d'une enveloppe spherique, le liquide interdendritique contenu a l'interieur cette enveloppe est suppose en &at de melange complet. Sous cette hypothtse, la fraction solide volumique interne, A, (difinie comme &ant la fraction de solide contenue dans cette enveloppe) est donnee par f; = a g(Pe), od R est la supersaturation et g(Pe) une fonction du nombre de P6clet du grain. De plus, l'epaisseur de la couche limite, S, a l'exterieur de l'enveloppe, est Cquivalente & celle d'un front plan, soit 6 = 2D/v, od v est la vitesse de croissance de la pointe de la dendrite, et D le coefficient de diffusion chimique. En couplant les expressions pourf; et 6 avec un bilan thermique et une loi de cinetique, une desciption complete de la solidification equiaxe est obtenue. Lcs rest&its sont compari% avec un mod&e num6rique, plus p&is mais beaucoup plus complique, qui a et6 publit recemment.
Zusarnmenfnssung-Es
wird eine analytische Naherung der ungerichteten dendritischen Erstarrung vorgeschlagen. Unter der Annahme, dass die Ausbildung der Mikrostruktur in metallischen Legierungen hauptslchlich von der Fremdatomdiffusion bestimmt wird, werden einfache Beziehungen ausgehend von einer Massenbilanz fur den Fremdatomgehalt im Bereich eines einzelnen dendritischen Korns abgeleitet. Nimmt man an, dass das einzelne Kom im Inneren einer kugelformigen Einhiillenden wachst, so wird der Festkorpervolumenanteil innerhalb der Kugel durch die BeziehungJ = s1. g(Pe) wiedergegeben, wobei R die Uberslttigung und g(Pe) eine Funktion der Pecletzahl des Koms ist. Im Inneren der kugel ist die Fremdatomverteilung der Schmelze homogen (vollstandige Durchmischung). Weiterhin ist die Dicke der Grenzschicht S ausserhalf der Kugel gleich gross wie fiir eine ebene Front, d.h. 6 = 2D/v, wobei v die Wachstumsgeschwindigkeit der Dendritenspitzen und D der Diffusionkoeffizient im Festkijrper ist. Die Verkniipfung der Beziehungen fur X und 6 mit einer Warmebilanz und einem kinetischen Gesetz erlaubt dann eine vollstandige Beschreibung der ungerichteten dendritischen Erstarrung. Die Ergebnisse werden mit genaueren, aber such langwierigeren numerischen Berechnungen, die vor kurzem ver~ffentlicht wurden, verglichen.