Relativ akkretive Operatoren und Approximation von Evolutionsgleichungen 2. Art. II

✍ Scribed by Hans Grabmüller

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1975
• Tongue: English
• Weight: 691 KB
• Volume: 66
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19750660109

✦ Synopsis

Einleitung

I m Teil I dieser Arbeit ist das abst,rakte CAUCHYsChe Anfangswertproblem fur Gleichungen der Art untersucht worden. Unter geeigneten Voraussetzungen an die abgeschlossenen Operatoren M und C konnte mit Hilfe einer Limitierungsformel ein konstruktiver Existenzbeweis erbracht werden, niit dem gleichzeitig eine beziiglich des Zeitparameters t approximative Berechnung der Losung u(t) moglich war. Mit dieser Theorie wurden auch unter einer zusatzlichen Forderung an den Operator M Anfangswertprobleme fur abstrakte Gleichungen vom Typ (ACP 2 ) ( M $ u ) ( t ) + (Cu) ( t ) = 0, t > 0 , erfaDt, und es wurde gezeigt, daB die Bestiminung von verallgenieinerteri Losungen bei gemischten Anfangs-Randwertproblemen fur eine Klasse von pseudoparabolischen Differentialgleichungen auf die genannten abstrakten Probleme fiihrt. I m vorliegenden zweiten Teil der Arbeit wird die Frage untersucht,, unter welchen Bedingungen die Existenz einer Losung des abstrakten CAucHY-Problems (ACP 1) bzw. (ACP 2 ) mit Hilfe einer Folge approximierender Probleme erhalten werden kann. Hier soll im Gegensatz zu der im Teil I vorgenommenen zeitlichen Approximation eine Approximation der abgeschlossenen Operatoren M und C derart vorgenommen werden, daB die Naherungsprobleme (0.1) numerisch ,,losbar" werden. Daruber hinaus soll die Konvergenz dieser Ntiherungsprobleme gegen das in Teil I formulierte Ausgangsproblem sichergestellt sein. Wir bedieneii uns bei dem zu verwendenden Approximationsbegriff der in neuerer Zeit bekanntgewordenen ,,diskretell Konvergenztheorie", deren um-'90 Grabmuller, Relativ akkret'ive Operatoren fassendste Darstellung in den Arbeiten von STUMMEL [ l l , 12, 131 zu finden ist. Diese Theorie ist in einer fur unsere Problematik interessanten Richtung von GRIGORIEPF [3, 41 und JEGGLE [6, 71 erweitert worden durch die Einfuhrung der Klasse der approximatiomregularen Operatoren. Hiermit konnen vrele fur die numerische Mathematik wichtige Verfahren erfaBt werden. Wir denken etwa an Differenzenverfahren bei Differentialgleichungen -wofur im 3. Abschnitt dieser Arbeit ein Beispiel angegeben wird -sowie a n Projektionsmethoden in endlichdimensionale Teilraume der hier zugrunde liegenden HILBERTsChen Raume E und F , oder an Quadraturformelmethoden bei Integralgleichungen. I n der vorliegenden Arbeit stellen wir zunachst einige Eigenschaften approximationsregularer Operatorenfamilien ( A (A) : = M + ilC : A > 0 } zusammen, die sich aus der spezifischen Voraussetzung der rm-Akkretivitat von C bezuglich M ergeben. Mit Hilfe dieser Eigenschaften zeigen wir dann im zweiten Abschnitt, da13 die diskreten Probleme (0.1) unter analogen Voraussetzungen, wie sie im Teil I an M und G gestellt wurden, Losungen uh(t) besitzen, die im Sinne der diskreten Konvergenztheorie gegen die Losung des Ausgangsproblems konvergieren. Eine Analyse des verwendeten Beweisverfahrens liefert dabei ein vollig neues konvergentes zweischichtiges Iterationsverfahren, in welchem Instabilitaten nicht auftreten konnen, wie sie zum Beispiel bei der Verwendung von Differenzenverfahren bei parabolischen Differentialgleichungen bekannt geworden sind. An dem Beispiel eines gemischten Anfangs-Randwertproblems fur eine pseudo-parabolische Differentialgleichung wird schlieDlich demonstriert, wie mit Hilfe der dargelegten Theorie verallgemeinerte Losungen naherungsweise berechnet werden konnen. Wir verwenden hier dieselben Bezeichnungen wie in [ 2 ] , dem ersten Teil dieser Arbeit, den wir auch mit I zitieren.