We prove the existence of positive regular solutions of the Cauchy problem for the nonlinear heat equation u t = u + |u| α u, with initial value µV , for all µ > 1 close enough to 1, where V is the singular stationary solution in R N . This result is obtained when N > 2 and 2 N-2 < α < α * , where α * is the critical power for the intersection properties of V with regular stationary solutions. Moreover, for µ as above, there exist at least two positive regular solutions with initial value µV . These results are optimal since it is known that no such solution exists if α α * . 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS MSC: 35K15; 35K55 RÉSUMÉ. -Nous montrons l'existence de solutions positives régulières du problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur non linéaire u t = u+|u| α u, avec donnée initiale µV , pour tout µ > 1 assez proche de 1, où V est la solution stationnaire singulière dans R N . Ce résultat est obtenu pour N > 2 et 2 N-2 < α < α * , où α * est la puissance critique pour les propriétés d'intersection de V avec les solutions stationnaires régulières. De plus, pour µ comme ci-dessus, il existe au moins deux solutions positives régulières avec donnée initiale µV . Ces résultats sont optimaux, car on savait déjà que de telles solutions ne peuvent exister si α α * .