Pseudoconvexity and Gromov hyperbolicity

✍ Scribed by Zoltan M. Balogh; Mario Bonk

• Publisher: Elsevier Science
• Year: 1999
• Tongue: English
• Weight: 424 KB
• Volume: 328
• Category: Article
• ISSN: 0764-4442
• DOI: 10.1016/s0764-4442(99)80253-5

✦ Synopsis

We give an estimate for the distance functions related to the Bergman, Carathkodory, and Kobayashi metrics on a bounded strictly pseudoconvex domain with C'-smooth boundary. Our formula relates the distance function on the domain with the Carnot-Carathkodory metric on the boundary. As a corollary we conclude that the domain equipped with the any of the standard invariant distances is hyperbolic in the sense of Gromov. When the boundary of the domain is C-smooth, our estimate is exact up to a fixed additive term. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris Pseudo-convexit& et hyperbolicitb & la Gromov RCsutnb. Noas dorwon.s une estimation ~OLIV les jkmctions distunce associ~es uu.x mhtriques de Berptm. CarathPodop et Kobayashi sw em domaine hornP strictement pseudo-um~w~c alw hard de cYas.se CJ'. Notre ,formule Ptahlit une relation entre lu ,ji,nction distance sur Ir domair~e et la mPtrique de Ctrrrlot-Crlrath~~r,d~)r~ sur le bard du damuine. Comme cwtr)lkairr. on en dPduit que Ie domaine muni d 'une distke invariarrte classique yuelconyw est h,vperholique au sens de Grorno~. Si lr bard du domaine est de c~lasse CT', notre jiwmrrle e.\t eractr 2 MT terme bornP pr&s. 0 AcadCmie des SciencesIElsevier, Paris Z.M. Balogh, M. Bonk MotivCs par la thCorie des espaces hyperboliques au sens de Gromov, nous donnons une formule asymptotique pour les fonctions distance associkes aux mCtriques de Bergman, Caratheodory et Kobayashi en termes de la fonction 9. THEOR~ME I. -Soit 12 & C'", II _> 2, un domaine born6 strictement pseudo-corz~lexe, et soit (1 la ,fijnction distcmce nssocike soit & la nktrique de Kobavashi, soit ir la me'trique de Carathe'odory, ou . ti la me'trique de Bergman ditzise'e par dx. a) Si le bord de bt est de classe c", alors pour E > 0, il existe une constante C: = C(12, E) > 0 telle que, prw :r. y E $2, (1 -E),q(X. y) -C' 5 tl(:r:, y) 5 (1 + z)g(.I., $/) + c. b) Si le bord dc 62 est de classe C:", odors il existe une constante Cr = C(0) > 0 telle que, pour .I:, y E 12, Les estimations du thCo&me 1 dgterminent la structure globale de l'espace m&ique (!I: (1). Par consCquent. on obtient le resultat suivant : COROLLAIKF. 2. -.Yoit It comme clans la prem.iPre partie du thhot+me 1. Alors X2, r'quipi de la distance de Bergman, CurnrhPodoyv ou Kobuyashi. est hyperbolique au sens de GromoL: On peut identifier le bord 3~: Q de d 2 consider-4 comme espace hyperbolique avec le bord euclidien 812.