Properly discontinuous groups of affine transformations with orthogonal linear part
✍ Scribed by Herbert Abels; Grigori A. Margulis; Grigori A. Soifer
- Publisher
- Elsevier Science
- Year
- 1997
- Tongue
- English
- Weight
- 439 KB
- Volume
- 324
- Category
- Article
- ISSN
- 0764-4442
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✦ Synopsis
RCsumk.
Let lI' be a subgroup of the group of all affine transformations of a real aftine space A of finite dimension. Suppose that I' acts properly discontinuously on A. We determine which orthogonal groups can occur as Zariski closures of the linear part of l?. Our methods yield a proof of Auslander's conjecture for affine spaces of dimension at most 6. H. Abels, C. A. Margulis and C. A. Soifer Ici nous utilisons la terminologie suivante : On dit qu'un groupe a virf~ellernerzf une propriete s'il contient un sous-groupe d'indice fini qui possede la m&me propritte. Dans le cas ou I-est un groupe de transformations euclidiennes. i.e. dans le cas oh I' preserve une metrique invariante par translations et induite par une forme quadratique positive definie, alors la conjecture est vraie d'apres un theoreme de Bieberbach [4]. En fait, Bieberbach a demontre que chaque groupe de transformations euclidiennes qui est proprement discontinu est virtuellement abklien 131. J. Milnor [ 121 a pose la question suivante : (**) Est-il \prai que tout sous-groupe proprernent discontinu de AffA est virtuellement resoluble ? Voici des questions equivalentes en geometric differentielle. Est-il vrai que toute variCtC affinement plate complete l\I a un groupe fondamental qui est virtuellement resoluble (Milnor) ? Est-ce vrai si de plus n[ est compacte (Auslander) ? G. A. Margulis (1 101. [ 111) a donne une reponse negative a la question de Milnor en construisant un sous-groupe libre P de AffA, ou dim ~4 = 3. tel que I' preserve une forme quadratique de signature (2,l). La conjecture d'Auslander a etC demontree dans nombre de cas (voir [ 71, 181, [9], 161, 151. [ 13). [ 141). et a CtC demontree en general seulement pour les espaces affines de dimension 5 3. Cette Note fait suite aux recherches commencees dans [21. Pour Cnoncer les rtsultats principaux il nous taut les notations suivantes. Le groupe AffL4 est le produit semi-direct de l'espace vectoriel 1,' des translations de .4 et du groupe lineaire CX (I'). On a alors un homomorphisme canonique I' : AffA + (iI, (1.). Disons que !/ E Ah'A preserve une forme quadratique U sur v si k (:I/) est dans le groupe orthogonal 0 (B). THF~OR~ME A. -Soit tlim A = 2 'I/, + 1 et .soit I' 1411 sous-groupe proprement discontinu de Aff'A preservant unr,forme quadratique i3 de signature (71 + 1, n). Alors L (I') n 'est pas Zariski dense dans 0 (L?) si 71 est pair. En contraste avec ce resultat, nous avons le resultat suivant pour 71 impair. TH~OREME B. -Soit dinr A = 2 II + 1, '0 impair, et soit (7~ + 1. II) la signature de la ,formr yuadratique u. Alors il existe un sous-groupe I' de Aff A qui est libre et proprement disconfinu et tel que ! (r) est Zariski dense d~rrls (1 (/3 j.
Cette dichotomie disparait dans le cas des autres signatures.
TH!SORBME C. -Soit cbm :Z = 1) + 11 et soit I' un sous-groupe proprrment discontinu dei%ff'A qui presene une ,forme quadratique I3 ayarn la .si,gnature (p, q), 02 )p -q/ # 1. Alors .! (I') II 'est pas Zariski dense dans 0 (B).
Nos methodes de demonstration nous permettent de demontrer la conjecture d'Auslander pour les espaces afhnes de dimension 5 6 et sont basees sur les idees de I 101, 11 I ] et 121. Elles sont essentiellement differentes de celles qui hgurent dans 171.