Thkorie des nombresf Number Theory (Analyse mathCmatiquelMathemafica/ Analysis) Preuve d'une conjecture de Hardy et Littlewood Ihiss ESSOUABRI R&urn& Soient H un nombre irrationnel quadratique positif et I'. (2 E R[S,, .Y?], On pose Z,,(I? C): ,A) = crf,;=, c;;':yl Q(u,, m,) I' ,'( IU,. 'u/~). En 1930, K. Mahler [X] a dCmontrC, sow des hypothkses asset fortes sur I' (ellipticitt?), un th&orkme d'existence de prolongement mkromorphe au plan complexe de telles skries. Le but de ce travail est de prouver un rCsultat aussi prick mais pour une classe de polynbmes plus gCn&ale (dans un si:ns m&me optimal) et d'obtenir, comme application, une dknonstration d'une conjecture de Hardy-Littlewood Clh]. 151) concernant I'existence et les proprietk du prolongement mkomorphe de In skie de Dirichlet : oti /la (t) = bk ( { f } ) = br (1 -[f] ) est la k-i&me fonction de Bernoulli. Nous donnons aussi une extension foible du thCor&me de Mahler au cas oti 0 est un nombre alpkbrique quelconquc. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier. Paris Proof 0.f n Hardy and Littlewood's conjecture Note prksentke par Bernard MA~.c:RAN(:E.