Deux articles sont aÁ l'origine de ce travail. Le premier, de A. Jehanne, [Je], e tudie le lien existant entre le probleÁ me de plongement lie aÁ la surjection S 4 Ä Ä S 4 et la parite du nombre de classes au sens restreint d'une S 4 -extension de Q. Le second, de P. Bayer et G. Frey [B-F], donne une construction elliptique des S 4 -extensions de Q et explique en particulier dans quels cas les S 4 -extensions ainsi construites admettent une solution au probleÁ me de plongement S 4 Ä Ä S 4 .
Nous nous appuyons ici sur cette construction elliptique des S 4 -extensions pour ame liorer les re sultats de [Je]. Cette nouvelle approche du probleÁ me permet en particulier la re alisation de familles infinies de S 4 -extensions N admettant une solution au probleÁ me de plongement en imposant des conditions sur la parite du nombre de classes au sens restreint de N, que nous notons h + N . Soient n un entier, n 4, et S n le groupe syme trique de n lettres. Soit KÂQ une extension de degre n et de clo^ture galoisienne N, on note G=Gal(NÂQ). Nous conside rons le probleÁ me de plongement lie aÁ la surjection S n Ä Ä S n ouÁ S n de signe l'unique extension centrale non triviale de degre 2 de S n dans laquelle les transpositions (resp. les produits de deux transpositions aÁ supports disjoints) se releÁ vent en des involutions (resp. des e le ments d'ordre 4) : nous disons que N est plongeable s'il existe une article no. 0054