MULLEB-PFEIFFER [8] hat die von NEHARI [9]
gefundenen Intrgralbedingungeen fur die Oszillation der Gleichung -u"(z) + q(s)u(z) = 0 auf die 8CHRoDINGER-Gleichung fortgesetzt. In [6] gelang eine weitere Ausdehnung auf die Klasse der elliptischen Differentialgleichungen -V lzia D U ( X ) +q(z)u(x) = 0, rE R,. In der vorliegenden Arbeit wird der Differentialoperator (1) Au(z)=dlzl"dNx) +a(z)u(x), a=G€C(&(O}), D ( A ) =Cr(Rn(O)) auf Oszillation untersucht. Die erzielten Ergebnisse stellen eine Verallgemeinerung yoen Resultaten aus [3], [4], und [5] dar. Fur n = 2 werden die Aussagen aus [3] yerbessert . Wir verstehen unter R, den n-dimensionalen EumIDischen Raum. C(G) ist die Menge aller stetigen auf dem Gebiet G S Rn definierteii komplexwertigen Funktionen, und CJG) ist die Menge aller finiten beliebig oft differenzierbaren komplexwertigen Funktionen mit G alb: Definitionsbereich. d bezeichnet den LAPLACEschen Differentialausdruck 2 r', , wiihrend V fiir den Gradient steht. Der SoBoLEvsche Raum W&(G) ktesteht aus allen Funktionen, deren verallgemeinerte Ableitungen bis zur Ordnung m auf jeder konpakten Teilmenge von G quadratisch integrierbar sind. J@T(G) ist die VervollstLndigung von CF(G) in der Norm des SoBoLEvschen Raumes W,"(Q). Fur beschriinkte Gebiete G Rn(0) ist die Einschrankung AG des Operators A auf CJG) wegen (1) spmmetriwh und halbbeschrankt nach unten, womit die FRIEDRICHsChe Erweiterung A, von A, existiert. Die Norm des energetischen Raumes HAG ist zur Norm des SOBOLEVschen Raumes Wi(G) liquivalent. Nach [l, Theorem 51 gilt deshalb a 2 ; = i GZi D(AG) =HAG nD(Ag) Wi(G) Cl W;,,JG) . Der Operator A heil3t oszillatorisch, wenn es aul3erhalb jederKugel ein Knotengebiet des Operators A gibt. Dabei versteht man unter einem Knotengebiet dee Operators A ein beschriinktes Gebiet C R,(O}. zu welchem es eine nichttriviale Losung der Gleichung &=O mit %€D(AG) gibt. Mit Hilfe des Abschlusses. gG 18s Fiedler/Grigo. Oszillationskriterien der durch den Operator A, erzeugten quadratkchen Form uc[u, u J = (12 Ltu(z)12 t q ( z ) iU(x),L) dx, D(u,)=D(A,) . kann man eine hinreichende K e h n p n g fur die Oszillation des Operators A form II lieren. B Lemma. Der Operator -4 ist osdntorisch, 2 c m L es ouperhnlh jedei h'tqel eine Kugdschale KQ,b und eine Fuuktion L'E D(6)= II;(Kas) wit Z[v, u J < O gibt. Beweis. AIR (hhiet G wBhlen wir die Kugelschale K , , , die aus allen X E R , mit &-=ax] hesteht. Nach den SoBoLmwhen Einbt*ttung:~sBtzen [lo, Satz 28.11 und dem Satz yon RELLICH [ 10, Satz 21.3) ist d, ein Operator mit reinem Yunktspektrum. Wegen d [ r , 1.3 -=O ist der kleinste Eigenwert \on tf, i=mf @[u, 241; uED(E,) = 1Pi(G), = 11 negativ. Nach dein Variatiomprinzip von COURANT kann man nun durch Veikleinerung von S erreivhen, daB 1=0 Eigenwert des Operators & wird. Damit erweist sich KQ,s mit der Eigenfunktion PU defi Operators & Zuni Eigenwert1=0 als ein Knotengebiet fur den Operator A. AIs weitere Hezeichnung fuhren wir (w,( fiir den Oherfliicheninhalt der Einheitskugel im B,, ein. Damit konnen wir ein erstes hinreichendes Oszill a t' ionskriteriuni formulieren.