In this Note we study the envelope of 1-parameter family of smooth curves tangent to a curve having a semicubic cusp, such that the radius of curvature at the tangency point vanishes when this point approaches the cusp. We show that, generically, the closure of the envelope has two semicubic cusps at the same point, one of which is the given cusp, tangent to the same straight line. To cite this article: G. Capitanio, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 249-254. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Sur l'enveloppe des familles à un paramètre de courbes tangentes à un cusp semicubique Résumé Dans cette Note on étudie l'enveloppe d'une famille à un paramètre de courbes lisses tangentes à une courbe ayant un cusp semicubique, telles que le rayon de courbure au point de tangence tende vers zéro lorsque ce point approche le cusp. On montre que, génériquement, l'adhérence de cette enveloppe a deux cusps semicubiques au même point, dont l'un est le cusp donné, tangents à une même droite. Pour citer cet article : G. Capitanio, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 249-254. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée
Soit γ une courbe plane réelle, ayant un cusp semicubique en O. En tout point q = O de γ on se donne une courbe lisse P q , tangente à γ en q. Dans cette Note on étudie l'enveloppe près de l'origine d'une telle famille à un paramètre, lorsque le rayon de courbure de P q au point de tangence s'annule pour q → O.
Ce problème est inspiré de l'exemple suivant, dû à V.I. Arnold [1] : l'enveloppe des paraboles tangentes à l'astroïde, de rayon de courbure 2/3 de celui de l'astroïde au point de tangence, est la réunion de l'astroïde et de la partie des droites tangentes aux cusps à l'extérieur de l'astroïde.
Le résultat principal de ce travail est le suivant.
THÉORÈME 1. -Génériquement, l'adhérence de l'enveloppe d'une famille vérifiant les hypothèses cidessus a deux cusps semicubiques en O, dont l'une est γ , tangents à une même droite.
Les cas non génériques et celui des courbes duales sont aussi traités ; notamment, on obtient un théorème analogue (les inflexions remplaçant les cusps) pour des familles de courbes tangentes à une courbe ayant un point d'inflexion.
Soit s → γ (s) = (α(s), β(s)) une paramétrisation lisse de γ , définie dans un voisinage de s = 0 ; on peut supposer α(s) = α 2 s 2 + o(s 2 ) et β(s) = β 3 s 3 + o(s 3 ), avec α 2 β 3 = 0. Le rayon de courbure de γ s'annule