On Some Contributions to Field Theory in the Calculus of Variations from Beltrami to Carathéodory
✍ Scribed by Rüdiger Thiele
- Publisher
- Elsevier Science
- Year
- 1997
- Tongue
- English
- Weight
- 264 KB
- Volume
- 24
- Category
- Article
- ISSN
- 0315-0860
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✦ Synopsis
Hilbert's invariant integral, a prominent result in the calculus of variations, is associated with problem 23 of his famous lecture, ''Mathematical problems,'' given at the International Mathematical Congress in Paris in 1900. Although Beltrami's investigation of non-Euclidean geometry in 1868 overshadowed his work that same year in the calculus of variations, his work in the latter area may be viewed as a precursor of Hilbert's ideas. The present paper traces Beltrami's and Hilbert's approaches to field theory. Adolf Kneser's concept of transversality linking the field lines (extremals) with the level surfaces of the eikonal provides a tool central to the analysis. Beltrami and Hilbert traveled the same mathematical route, but in opposite directions. In the long run, Carathe ´odory found the new approach to field theory, sometime called the ''royal road.'' © 1997 Academic Press Uno dei risultati piu `rilevanti nel calcolo delle variazioni e ´noto come l'invariante integrale di Hilbert, ed e ´associato al ventitreesimo dei ''Problemi Matematici'' che Hilbert espose nel 1900 a Parigi durante il Congresso Internazionale di Matematica. Le ricerche di Beltrami del 1868 relative alla geometria noneuclidea, la sciarono in ombra il suo lavoro dello stesso anno sul calcolo delle variazioni. Possiamo tuttavia considerare Beltrami uno dei precursori di queste idee. Questo lavoro delinea i due approcci di Beltrami e di Hilbert alla teoria dei campi. Uno strumento centrale di confronto e ´rappresentato dal concetto di transversalita ´di Adolf Kneser che determina la connessione tra le linee di campo (estremali) e le superfici di livello della sua iconale. Beltrami e Hilbert viaggiano sullo stesso binario, ma in direzioni opposte. Alla fine fu Carathe ´odory a trovare un nuovo approccio, che viene talvolta indicato come la via regia verso la teoria dei campi.