Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons

✍ Scribed by Mark J. Ablowitz

• Publisher: Cambridge University Press
• Year: 2011
• Tongue: English
• Leaves: 364
• Category: Library

✦ Synopsis

The field of nonlinear dispersive waves has developed enormously since the work of Stokes, Boussinesq and Korteweg-de Vries (KdV) in the nineteenth century. In the 1960s, researchers developed effective asymptotic methods for deriving nonlinear wave equations, such as the KdV equation, governing a broad class of physical phenomena that admit special solutions including those commonly known as solitons. This book describes the underlying approximation techniques and methods for finding solutions to these and other equations. The concepts and methods covered include wave dispersion, asymptotic analysis, perturbation theory, the method of multiple scales, deep and shallow water waves, nonlinear optics including fiber optic communications, mode-locked lasers and dispersion-managed wave phenomena. Most chapters feature exercise sets, making the book suitable for advanced courses or for self-directed learning. Graduate students and researchers will find this an excellent entry to a thriving area at the intersection of applied mathematics, engineering and physical science.

✦ Table of Contents

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Preface 11......Page 11
1......Page 17
FPU (Fermi-Pasta-Ulam) model, 3......Page 19
11......Page 27
14......Page 30
2.1 Fourier transform method 17......Page 33
wavenumber, 19......Page 35
Parseval’s theorem, 22......Page 38
--- conservation law, 23......Page 39
--- multidimensional, 24......Page 40
--- viscous, 27......Page 43
vibrating string, 33......Page 49
2.9 Linear wave equation 35......Page 51
37......Page 53
2.11 Classification and well-posedness of PDEs 38......Page 54
42......Page 58
analysis of Fourier-type integrals 45......Page 61
stationary point, 46......Page 62
--- linear, 48......Page 64
slowly varying, 51......Page 67
--- linear, 54......Page 70
--- linear, semi-discrete, 61......Page 77
numerical ill-posedness, 68......Page 84
Laplace transform, 71......Page 87
--- differential-difference, 73......Page 89
4 Perturbation analysis 75......Page 91
regular perturbation analysis, 76......Page 92
Stokes-Poincar?e method, 78......Page 94
slow variable, 81......Page 97
--- nonlinear case, 84......Page 100
soft spring, 86......Page 102
Exercises 96......Page 112
5 Water waves and KdV-type equations 98......Page 114
--- incompressible, 99......Page 115
5.2 Linear waves 103......Page 119
5.3 Non-dimensionalization 105......Page 121
--- non-dimensional, 106......Page 122
KPII equation, 118......Page 134
--- unidirectional, 128......Page 144
u-4 model, 130......Page 146
retarded frame, 133......Page 149
138......Page 154
universality, 141......Page 157
Stokes-Poincar?e frequency-shift method, 148......Page 164
152......Page 168
--- instability, 156......Page 172
--- multidimensional, 158......Page 174
167......Page 183
nonlinear optics, 169......Page 185
ferromagnetic, 171......Page 187
174......Page 190
NLS equation with mean (NLMS), 182......Page 198
Exercises 185......Page 201
PART II INTEGRABILITY AND SOLITONS 187......Page 203
189......Page 205
192......Page 208
193......Page 209
--- time-independent, 197......Page 213
scattering data, 198......Page 214
Lax’s equation, 199......Page 215
8.7 More general classes of nonlinear evolution equations 205......Page 221
210......Page 226
214......Page 230
215......Page 231
9.2 Scattering data 219......Page 235
9.3 The inverse problem 222......Page 238
--- equations, 224......Page 240
225......Page 241
--- solved by IST, 227......Page 243
reflectionless potential, 228......Page 244
9.8 Special initial potentials 232......Page 248
9.9 Conserved quantities and conservation laws 235......Page 251
239......Page 255
Exercises 256......Page 272
WAVES IN OPTICS 259......Page 275
WDM system, 261......Page 277
269......Page 285
10.3 Dispersion-management 274......Page 290
10.4 Multiple-scale analysis of DM 277......Page 293
quasilinear pulse, 298......Page 314
wavelength channel, 303......Page 319
residual timing shift, 306......Page 322
--- DM, 309......Page 325
10.9 DM soliton frequency and timing shifts 310......Page 326
satury power terms, 313......Page 329
SPRZ method, 314......Page 330
317......Page 333
References 334......Page 350
--- 345......Page 361
Abel integral equation, 72......Page 88
--- linear, 87......Page 103
WKB method, 89......Page 105
Rankine-Hugoniot relations, 29......Page 45
55......Page 71
Airy’s equation, 59......Page 75
60......Page 76
isospectral flow, 201......Page 217
--- constant dispersion, 319......Page 335
194......Page 210
49......Page 65
--- dispersion-managed, 324......Page 340
NLS systems, 127......Page 143
Bernoulli equation, 101......Page 117
--- bi-, 330......Page 346
blow-up, 163......Page 179
245......Page 261
Boussinesq equation, 5......Page 21
--- second, 15......Page 31
--- linearized, 109......Page 125
long-wave expansion, 110......Page 126
165......Page 181
26......Page 42
Burgers’ equation, 30......Page 46
32......Page 48
solitary, 6......Page 22
21......Page 37
rarefaction wave, 31......Page 47
212......Page 228
D’Alembert’s solution to wave equation, 36,......Page 52
characteristics, method of, 25......Page 41
chirp, 289......Page 305
13......Page 29
120......Page 136
cnoidal wave, 8......Page 24
FWHM, 262......Page 278
WKB approximation, 52......Page 68
vorticity equation, 100......Page 116
lumped model, 266......Page 282
CW wave, 179......Page 195
--- 43......Page 59
DSI system, 159......Page 175
shallow-water dispersion relationship, 104......Page 120
Zakharov variables, 124......Page 140
FPU equation, 4......Page 20
178......Page 194
dispersion following the loss profile, 276......Page 292
Fourier transform, 18......Page 34
discrete, 62......Page 78
phase velocity, 20......Page 36
DM, 275......Page 291
--- convolution form, 279......Page 295
dromion, 160......Page 176
lump solution, 161......Page 177
energy integral, 91......Page 107
four-wave mixing, 273......Page 289
Z transform, inverse, 63......Page 79
--- inverse discrete, 64......Page 80
--- integrable, 123......Page 139
--- shallow, 107......Page 123
solvability condition, 92......Page 108
normalized, 263......Page 279
XPM, 271......Page 287
--- equation, 258......Page 274
250......Page 266
--- constants, 230......Page 246
Ginzburg-Landau equation, 318......Page 334
53......Page 69
semi-discrete, 65......Page 81
--- dark, 132......Page 148
WDM, 270......Page 286
Hilbert transform, 157......Page 173
hodograph transformation, 213......Page 229
soliton, 10......Page 26
200......Page 216
third-order susceptibility, 172......Page 188
Jost solutions, 241......Page 257
steepest descent contour, 56......Page 72
112......Page 128
203......Page 219
211......Page 227
sideband wavenumber, 139......Page 155
similarity solution, 58......Page 74
Miura transformation, 195......Page 211
--- 253......Page 269
quasimonochromatic assumption, 137......Page 153
mode-locking, 315......Page 331
water wave equations, 102......Page 118
16......Page 32
40......Page 56
--- doubly-discrete, 66......Page 82
surface tension, 116......Page 132
weak transverse variation, 117......Page 133
--- linearized, 122......Page 138
162......Page 178
Marchenko equation, 257......Page 273
Lenard hierarchy, 208......Page 224
linear index of refraction, 176......Page 192
lump soliton, 121......Page 137
polarization, 170......Page 186
136......Page 152
177......Page 193
206......Page 222
time equation, 240......Page 256
virial equation, 168......Page 184
--- dispersion-managed, 278......Page 294
--- dispersion-managed, 285......Page 301
316......Page 332
151......Page 167
--- gray, 153......Page 169
soliton string, 321......Page 337
246......Page 262
O(?) correction, 77......Page 93
water waves variant, 140......Page 156
--- nonlinear, 90......Page 106
soliton state, 320......Page 336
quasilinear mode, 299......Page 315
reduced map strength, 297......Page 313
transmission coefficients, 217......Page 233
Riemann-Hilbert problem, 248......Page 264
50......Page 66
Schr?odinger scattering problem, 207......Page 223
second harmonic resonance, 181......Page 197
85......Page 101
self-phase-modulation, 180......Page 196
shocks, 28......Page 44
simple harmonic oscillator, 74......Page 90
sinh-Gordon equation, 204......Page 220
254......Page 270
slowly varying envelope, 131......Page 147
--- elastic collision, 9......Page 25
--- train of, 7......Page 23
119......Page 135
--- return-to-zero, 305......Page 321
soliton collision, 307......Page 323
93......Page 109
spectral renormalization, 286, see SPRZ......Page 302
torque equation, 183......Page 199
virial theorem, 164......Page 180
--- deep-water limit, 149......Page 165
well-posedness, 39......Page 55
Wronskian, 216......Page 232