Non solo calcoli: Domande e risposte sui perché della matematica

✍ Scribed by Vinicio Villani, Claudio Bernardi, Sergio Zoccante, Roberto Porcaro (auth.)

• Publisher: Springer Milan
• Year: 2012
• Tongue: Italian
• Leaves: 289
• Series: Convergenze
• Category: Library

✦ Synopsis

Nell'infanzia si pongono i classici interrogativi con tanti “perché?”. Purtroppo poi, nel corso dell'educazione matematica, la curiosit� diminuisce e spesso ci si accontenta di chiedere "come si fa?". Questo libro è dedicato ai perché della logica e teoria degli insiemi, dell'analisi matematica, della probabilit� e statistica. Si completano così gli argomenti di matematica insegnati a scuola, dopo i precedenti testi di V. Villani sui perché dell’algebra e geometria. Il titolo contiene un messaggio. In logica si affronta il calcolo delle proposizioni, l’analisi matematica è nota anche col nome di calcolo, la probabilit� è detta calcolo delle probabilit� . In tutti e tre i casi si potrebbe focalizzare l’attenzione sulla parola calcolo. Ma questo è riduttivo: il calcolo è una componente importante, ma altrettanto importante è la comprensione critica di tutto ciò che sta alla base dei calcoli. Il libro è rivolto a chi insegna matematica e a tutte le persone che hanno conservato una genuina curiosit� scientifica.

✦ Table of Contents

Content:
Front Matter....Pages I-XII
Front Matter....Pages 1-1
Qual è, o quale dovrebbe essere, il ruolo della teoria degli insiemi nell’insegnamento della matematica?....Pages 3-12
Che cosa significa che due insiemi sono uguali? La parola “uguale” e il simbolo “=” hanno un unico significato in matematica?....Pages 13-15
Che cosa significa che un insieme è infinito, oppure che è finito?....Pages 17-20
La teoria degli insiemi è meno “sicura” delle altre teorie matematiche, come l’algebra o la geometria? E perché non è lecito parlare dell’insieme di tutti gli insiemi?....Pages 21-24
Che cosa è, in generale, un paradosso? Quali sono i paradossi più significativi? E qual è il loro ruolo in matematica?....Pages 25-33
In che cosa si differenzia il linguaggio della logica dal linguaggio che usiamo tutti i giorni? Ci sono legami fra i simboli logici e i simboli della teoria degli insiemi?....Pages 35-45
Oltre alle tavole di verità, ci sono altri esercizi di logica che vale la pena affrontare nelle Scuole secondarie?....Pages 47-54
Che cosa è un teorema? Qual è la struttura logica di un teorema? Ci sono diversi tipi di dimostrazione? E c’è differenza fra esempio e controesempio?....Pages 55-64
Che cosa significa che un teorema è dimostrato per assurdo?....Pages 65-69
Come va impostata una teoria matematica? La logica matematica offre una fondazione definitiva per le varie teorie matematiche?....Pages 71-76
Si può dare una definizione di definizione? Qual è il ruolo delle definizioni? È vero che i teoremi si dimostrano a partire dalle definizioni?....Pages 77-85
In che misura i teoremi di Gödel minano le fondamenta dell’intero edificio matematico?....Pages 87-93
Esistono ancora problemi aperti in matematica? Ci sono legami con gli enunciati indecidibili di cui parlano i teoremi di Gödel? E con i problemi insolubili come la quadratura del cerchio?....Pages 95-100
Front Matter....Pages 101-101
È più opportuno iniziare lo studio dell’analisi matematica a partire dalle successioni o dalle funzioni?....Pages 103-115
È proprio necessaria la nozione di limite? E perché se ne dà una definizione così lontana dall’idea intuitiva?....Pages 117-125
Come è possibile che molti fondamentali risultati in Analisi precedano una definizione rigorosa di limite, di derivata o di integrale?....Pages 127-130
Quali ruoli giocano ai fini dello studio di una funzione le nozioni di continuità e di derivabilità?....Pages 131-138
Perché il concetto di derivata è così importante in analisi?....Pages 139-150
Esistono casi significativi in cui la ricerca di massimi e minimi può essere effettuata senza ricorrere all’Analisi Matematica?....Pages 151-157
È meglio introdurre prima l’integrale definito o quello indefinito? E perché l’operazione di integrazione è tanto più difficile di quella di derivazione?....Pages 159-175
Front Matter....Pages 101-101
Cosa significa approssimare una funzione? E quali sono i possibili criteri per la scelta delle funzioni approssimanti?....Pages 177-193
Quali sono le funzioni da considerarsi fondamentali in Analisi Matematica? E che dire delle funzioni di due o più variabili?....Pages 195-204
Come fare, se non ci sono formule esatte per il calcolo?....Pages 205-220
Front Matter....Pages 221-221
Perché in ambito probabilistico anche semplici problemi celano spesso difficoltà e sconcerto?....Pages 223-225
Esistono diverse impostazioni della probabilità. Qual è quella preferibile dal punto di vista teorico? E dal punto di vista didattico?....Pages 227-236
Perché in ambito probabilistico, quando si parla di eventi indipendenti, si avverte l’esigenza di specificare che si tratta di indipendenza “stocastica”?....Pages 237-246
Perché, contrariamente ad altri settori della matematica, nel calcolo delle probabilità si privilegiano situazioni ludiche?....Pages 247-253
In quali contesti, oltre a quello ludico, il calcolo delle probabilità svolge ruoli importanti?....Pages 255-260
Qual è il significato matematico della frase spesso citata “il caso non ha memoria”?....Pages 261-269
Probabilità nel continuo: cosa cambia rispetto alla probabilità nel discreto?....Pages 271-274
Quali rapporti intercorrono tra la probabilità e la statistica matematica?....Pages 275-281
Perché molti pensano che i risultati dei calcoli probabilistici o statistici siano inaffidabili o menzogneri?....Pages 283-287
Back Matter....Pages 289-297