METRISCH-EUKLIDISCHE RÄUME BELIEBIGER DIMENSION IM AUFBAU DER GEOMETRIE AUS DEM SPIEGELUNGSBEGRIFF
✍ Scribed by B. Klotzek; R. Stamm
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1981
- Tongue
- English
- Weight
- 629 KB
- Volume
- 27
- Category
- Article
- ISSN
- 0044-3050
No coin nor oath required. For personal study only.
✦ Synopsis
METRISCH-EUKLIDISCHE RAUME RELIEBIGER DIMENSION IM AUFBAU DER GEOMETRIE SUS DEM SPIEGELUNGSBEGRIFF von B. KLOTZEK in Potsdam und It. STAMM in Arzberg (DDR) Einleitung I n [4] werden metrische Raume beliebiger Dimension auf der Grundlage des Spiegelungsbegriffes aufgebaut. Die dcrt verwendete Idee des geteilten Erzeugendensystems ist bereits in [5] ausgefiihrt worden. Wir streben hier einen Aufbau an, bei dem sich der eine Teil des Erzeugendensystems als Menge von Spiegelungen an gewissen Hyperebenen und der andere Teil als Menge der Punktspiegelungen charakterisieren IaBt. Das Basisaxiomensystem besteht lediglich aus vier Axiomen : Eindeutiglreit der Verbindungsgeraden, Existenz von zwei Punkten in jeder Geraden, Lotaxiom und Parallelenaxiom. Zur Charakterisierung gewisser Unterstrukturen als metrischer Ebenen werden zwei Dreispiegelungssatze als Axiome formuliert. Grundlegende Folgerungen im Abschnitt 2 sind der Lotenschnitt, Existenz und Eindeutigkeit von Verbindungsgeraden und -ebenen, von Loten und Parallelen verschiedener Dimension bzw. Codimension, die Linearitat der Ebenen und Hyperebenen sowie die Existenz von Punkten in Geraden und Ebenen. Auf dieser Grundlage werden wesentliche Hilfsmittel zur Ruckgewinnung der Metrik bereitgestellt. Somit konnen mit Hilfe einer Verscharfung des Parallelenaxioms bereits die euklidischen R h m e einer beliebigen Dimension gekennzeichnet werden, weil sich die Ebenen in gewissem Sinne als euklidische Ebenen erweisen, und das Axiomensystem fur affine Raume aus [ 7 ] hergeleitet werden kann. Im allgemeinen Fall werden fur die Einbettung in einen projektiven Raum noch Aussagen uber dreidimensionale Unterraume gewonnen Die Resultate zur Inzidenzgeometrie in [lo] gestatten die gewiinschte Einbettung, falls die Dimension > 3 ist Der dreidimensionale Fall wird abschlieBend behandelt.
Wie bei der gesonderten Behandlung der elliptischen Raume beliebiger Dimension in [9] haben sich in der vorliegenden Note hinsichtlich der euklidischen Geometrie erhebliche Vereinfachungen ergeben. AuBerdem scheint hiermit eine Vorarbeit beziiglich des noch unbearbeiteten Aufbaus der pseudo-euklidischen Geometrie beliebiger Dimension erbracht zu sein 1. Ein gruppentheoretisches Axiomensystem G r u n d a n n a h m e . Gegeben seien zwei nichtleere Mengen @ und sowie eine Qruppe % rnit . @ w 9 als Erxeugendensystem.
Die Elemente von 9, . $ und interpretieren wir als Bewegungen bzw. Spiegelungen an den Hyperebenen, die orthogonale Komplemente von Geraden sind, bzw. Spiegelungen an den Punkten eines beliebig dimensionalen metrisch-euklidischen Raumes.