Metodos Numericos y Computacion

✍ Scribed by Ward Cheney, David Kincaid

• Publisher: Cengage
• Year: 2011
• Tongue: Spanish
• Leaves: 794
• Edition: 6
• Category: Library

✦ Table of Contents

Métodos numéricos y computación
Prefacio
Contenido
1 Introducción
1.1 Observaciones preliminares
Dígitos significativos de precisión: ejemplos
Errores: absoluto y relativo
Exactitud y precisión
Redondeo y truncamiento
Multiplicación anidada
Parejas de problemas fácil/difícil
Primer experimento de programación
Software matemático
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 1.1*
Problemas de cómputo 1.1
1.2 Repaso de series de Taylor
Series de Taylor
TEOREMA 1Serie de Taylor formal para f con respecto a c
Algoritmo completo de Horner
Teorema de Taylor en términos de (x — c)
TEOREMA 2 Teorema de Taylor para f (x)
Teorema del valor medio
TEOREMA 3 Teorema del valor medio
Teorema de Taylor en términos de h
COROLARIO 1 Teorema del valor medio para f (x + h)
Series alternantes
TEOREMA 4 Teorema de series alternantes
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 1.2
Problemas de cómputo 1.2
2 Representación de punto flotante y errores
2.1 Representación de punto flotante
Representación de punto flotante normalizada
Representación de punto flotante
Forma de punto flotante de precisión simple
Forma de punto flotante de doble precisión
Errores de cómputo en la representación de números
Notación fl(x) y análisis de error hacia atrás
Notas históricas
Resumen
Problemas 2.1
Problemas de cómputo 2.1
2.2 Pérdida de significancia
Dígitos significativos
Pérdida de significancia causada por la computación
Teorema de pérdida de precisión
TEOREMA 1 Teorema de pérdida de precisión
Cómo evitar la pérdida de significancia en la resta
Reducción de rango
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 2.2
Problemas de cómputo 2.2
3 Localización de raíces de ecuaciones
3.1 Método de bisección
Introducción
Algoritmo y seudocódigo de la bisección
Ejemplos
Análisis de convergencia
TEOREMA 1 Teorema del método de bisección
Método de falsa posición (regula falsi) y modificaciones
Resumen
Problemas 3.1
Problemas de cómputo 3.1
3.2 Método de Newton
Interpretaciones del método de Newton
Seudocódigo
Ilustración
Análisis de convergencia
TEOREMA 1 Teorema del método de Newton
Sistemas de ecuaciones no lineales
Cuencas de atracción de fractales
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 3.2
Problemas de cómputo 3.2
3.3 Método de la secante
Algoritmo de la secante
Análisis de convergencia
Comparación de métodos
Esquemas híbridos
Iteración de punto fijo
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 3.3
Problemas de cómputo 3.3
4 Interpolación y diferenciación numérica
4.1 Interpolación polinomial
Observaciones preliminares
Interpolación polinomial
Polinomio de interpolación: forma de Lagrange
Existencia de la interpolación de polinomios
TEOREMA 1 Teorema de la existencia de la interpolación polinomial
Interpolación polinomial: forma de Newton
Forma anidada
Cálculo de coeficientes ai usando diferencias divididas
ALGORITMO 1 Un algoritmo para calcular las diferencias divididas de f
TEOREMA 2 Propiedad recursiva de diferencias divididas
TEOREMA 3 Teorema de la invarianza
Algoritmos y seudocódigo
Matriz de Vandermonde
Interpolación inversa
Interpolación polinomial con el algoritmo de Neville
TEOREMA 4 Propiedades de interpolación
Interpolación de funciones de dos variables
Resumen
Problemas 4.1
Problemas de cómputo 4.1
4.2 Errores en la interpolación polinomial
Función de Dirichlet
Función de Runge
Teoremas de errores de interpolación
TEOREMA 1 Errores de interpolación I
LEMA 1 Lema de límite superior
TEOREMA 2 Errores de interpolación II
TEOREMA 3 Errores de interpolación III
TEOREMA 4 Diferencias divididas y derivadas
COROLARIO 1 Diferencias divididas
Resumen
Problemas 4.2
Problemas de cómputo 4.2
4.3 Cálculo de derivadas y extrapolación de Richardson
Fórmulas de primera derivada mediante series de Taylor
Extrapolación de Richardson
TEOREMA 1 Teorema de la extrapolación de Richardson
ALGORITMO 2 Extrapolación de Richardson
Fórmulas de primera derivada mediante interpolación de polinomios
Fórmulas de segunda derivada mediante series de Taylor
Ruido en cálculos
Resumen
Referencias adicionales del capítulo 4
Problemas 4.3
Problemas de cómputo 4.3
5 Integración numérica
5.1 Sumas inferior y superior
Integrales definidas e indefinidas
Sumas inferior y superior
Funciones integrables de Riemann
TEOREMA 1 Teorema de la integral de Riemann
Ejemplos y seudocódigo
Resumen
Problemas 5.1
Problemas de cómputo 5.1
5.2 Regla del trapecio
Espaciado uniforme
Análisis de error
TEOREMA 2 Teorema de precisión de la regla del trapecio
Aplicación de la fórmula de error
Fórmula recursiva del trapecio para subintervalos iguales
TEOREMA 2 Fórmula recursiva del trapecio
Integración multidimensional
Resumen
Problemas 5.2
Problemas de cómputo 5.2
5.3 Algoritmo de Romberg
Descripción
Pseudocódigo
Fórmula de Euler-Maclaurin
TEOREMA 1 Fórmula de Euler-Maclaurin y término de error
Extrapolación general
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 5.3
Problemas de cómputo 5.3
6 Temas adicionales de integración numérica
6.1 Regla de Simpson y adaptable de Simpson
Regla básica de Simpson
Regla de Simpson
Regla compuesta de Simpson
Un esquema adaptable de Simpson
Ejemplo del uso del procedimiento adaptable de Simpson
Reglas de Newton-Cotes
Resumen
Problemas 6.1
Problemas de cómputo 6.1
6.2 Fórmulas de cuadratura gaussiana
Descripción
Cambio de intervalos
Nodos gaussianos y pesos
TEOREMA 1 Teorema de la cuadratura gaussiana
Polinomios de Legendre
TEOREMA 2 Teorema de cuadratura gaussiana pesada
Integrales con singularidades
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 6.2
Problemas de cómputo 6.2
7 Sistemas de ecuaciones lineales
7.1 Eliminación gaussiana simple
Un gran ejemplo numérico
Algoritmo
Seudocódigo
Prueba del seudocódigo
Vectores residual y de error
Resumen
Problemas 7.1
Problemas de cómputo 7.1
7.2 Eliminación gaussiana con pivoteo escalado parcial
La eliminación gaussiana simple puede fallar
Pivoteo parcial y pivoteo completo parcial
Eliminación gaussiana con pivoteo escalado parcial
Un gran ejemplo numérico
Seudocódigo
Conteo de operaciones largas
TEOREMA 1 Teorema de operaciones largas
Estabilidad numérica
Escalamiento
Resumen
Problemas 7.2
Problemas de cómputo 7.2
7.3 Sistemas tridiagonales y en banda
Sistemas tridiagonales
Dominio estrictamente diagonal
DEFINICIÓN 1 Dominio estrictamente diagonal
Sistemas pentadiagonales
Sistemas pentadiagonales de bloque
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 7.3
Problemas de cómputo 7.3
8 Temas adicionales referentes a sistemas de ecuaciones lineales
8.1 Factorizaciones matriciales
Ejemplo numérico
Deducción formal
TEOREMA 1 Teorema factorización LU
Seudocódigo
Resolución de sistemas lineales usando factorización LU
Factorización LDLT
Factorización de Cholesky
TEOREMA 2 Teorema de Cholesky acerca de la factorización LL T
Múltiples lados derechos
Cálculo Aˉ¹
Ejemplo con uso de paquetes de software
Resumen
Problemas 8.1
Problemas de cómputo 8.1
8.2 Soluciones iterativas de sistemas lineales
Normas de vector y matriz
Número de condición y mal condicionado
Métodos iterativos básicos
Seudocódigo
Teoremas de convergencia
TEOREMA 1 Teorema del radio espectral
TEOREMA 2 Teorema de convergencia de Jacobi y de Gauss-Seidel
DEFINICIÓN 1 Simétrica positiva definida
TEOREMA 3 Teorema de convergencia SOR
Formulación matricial
Otra visión de la sobrerrelajación
Método del gradiente conjugado
Resumen
Problemas 8.2
Problemas de cómputo 8.2
8.3 Valores propios y vectores propios
Cálculo de valores propios y vectores propios
Software matemático
Propiedades de los valores propios
TEOREMA 1 Propiedades de la matriz de valores propios
TEOREMA 2 Valores propios de matrices semejantes
TEOREMA 3 Teorema de Schur
COROLARIO 1 Matriz semejante a una matriz triangular
COROLARIO 2 Matriz hermitiana unitariamente semejante a una matriz diagonal
Teorema de Gershgorin
TEOREMA 4 Teorema de Gershgorin
COROLARIO 3 Más discos de Gershgorin
COROLARIO 4
COROLARIO 5
Descomposición en valor singular
TEOREMA 5 Teorema espectral de matrices
TEOREMA 6 Teorema de bases ortogonales
Ejemplos numéricos de descomposición en valor singular
Aplicación: ecuaciones diferenciales lineales
TEOREMA 7 Ecuaciones diferenciales lineales
Aplicación: un problema de vibración
Resumen
Problemas 8.3
Problemas de cómputo 8.3
8.4 Método de potencias
Algoritmos del método de potencias
Aceleración de Aitken
Método de potencias inverso
Ejemplos con software: método de potencias inverso
Método de potencias (inverso) desplazado
Ejemplo: método de potencias inverso desplazado
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 8.4
Problemas de cómputo 8.4
9 Aproximación por funciones spline
9.1 Splines de primer y segundo grado
Spline de primer grado
DEFINICIÓN 1 Spline de primer grado
Módulo de continuidad
TEOREMA 1 Teorema de exactitud del polinomio de primer grado
TEOREMA 2 Teorema de exactitud del spline de primer grado
Splines de segundo grado
DEFINICIÓN 2 Spline de segundo grado
Interpolación del spline cuadrático Q(x)
ALGORITMO 1 Interpolación de spline cuadrático en los nudos
Spline cuadrático de Subbotin
Resumen
Problemas 9.1
Problemas de cómputo 9.1
9.2 Splines cúbicos naturales
Introducción
DEFINICIÓN 1 Spline de grado k
Spline cúbico natural
Algoritmo para el spline cúbico natural
ALGORITMO 1 Solución directa del sistema tridiagonal del spline cúbico natural
Seudocódigo para splines cúbicos naturales
Uso de seudocódigo para interpolar y ajustar curvas
Curvas espaciales
Propiedad de suavidad
TEOREMA 1 Teorema de suavidad del spline cúbico
Resumen
Problemas 9.2
Problemas de cómputo 9.2
9.3 Splines B: interpolación y aproximación
Interpolación y aproximación con splines B
Seudocódigo y ejemplo de un ajuste de curva
Proceso de Schoenberg
Seudocódigo
Curvas de Bézier
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 9.3
Problemas de cómputo 9.3
10 Ecuaciones diferenciales ordinarias
10.1 Métodos de series de Taylor
Problema con valor inicial: solución analítica contra numérica
Ejemplo de un problema práctico
Resolución de ecuaciones diferenciales e integración
Campos vectoriales
TEOREMA 1 Unicidad del problema con valores iniciales
Métodos de series de Taylor
Seudocódigo del método de Euler
Método de la serie de Taylor de orden superior
Tipos de errores
Método de la serie de Taylor usando cálculos simbólicos
Resumen
Problemas 10.1
Problemas de cómputo 10.1
10.2 Métodos de Runge-Kutta
Serie de Taylor para f (x, y)
Método de Runge-Kutta de orden 2
Método de Runge-Kutta de orden 4
Seudocódigo
Resumen
Problemas 10.2
Problemas de cómputo 10.2
10.3 Estabilidad y adaptación de los métodos de Runge-Kutta y de multipaso
Un método adaptado de Runge-Kutta-Fehlberg
ALGORITMO 1 Panorama de un proceso adaptado
Un ejemplo industrial
Fórmulas de Adams-Bashforth-Moulton
Análisis de estabilidad
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 10.3
Problemas de cómputo 10.3
11 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
11.1 Métodos para sistemas de primer orden
Sistemas desacoplados y acoplados
Método de series de Taylor
Notación vectorial
Sistemas de EDO
Método de series de Taylor: notación vectorial
Método de Runge-Kutta
EDO autónoma
Resumen
Problemas 11.1
Problemas de cómputo 11.1
11.2 Ecuaciones de orden superior y sistemas
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior
Sistemas de EDO autónomas
Resumen
Problemas 11.2
Problemas de cómputo 11.2
11.3 Métodos de Adams–Bashforth–Moulton
Un esquema predictor–corrector
Seudocódigo
Un esquema adaptado
Un ejemplo de ingeniería
Algunas observaciones acerca de las ecuaciones rígidas
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 11.3
Problemas de cómputo 11.3
12 Suavizado de datos y el método de mínimos cuadrados
12.1 Método de mínimos cuadrados
Recta de mínimos cuadrados
ALGORITMO 1 Recta de mínimos cuadrados
Ejemplo lineal
Ejemplo no polinomial
Funciones base {g0, g1, . . . , gn}
Resumen
Problemas 12.1
Problemas de cómputo 12.1
12.2 Sistemas ortogonales y polinomios de Chebyshev
Funciones base ortonormales {g0, g1, . . . , gn}
Diseño de algoritmo
Suavizado de datos: regresión polinomial
PROPIEDADES Definición de propiedades de un producto interno
Resumen
Problemas 12.2
Problemas de cómputo 12.2
12.3 Otros ejemplos del principio de mínimos cuadrados
Uso de una función de peso w(x)
Ejemplo no lineal
Ejemplo lineal y no lineal
Detalles adicionales en DVS
TEOREMA 1 Teorema DVS de mínimos cuadrados
Uso de la descomposición de valor singular
TEOREMA 2 Teorema de solución mínima
TEOREMA 3 Propiedades de Penrose de la seudoinversa
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 12.3
Problemas de cómputo 12.3
13 Métodos de Monte Carlo y simulación
13.1 Números aleatorios
Algoritmos y generadores de números aleatorios
ALGORITMO 1 Madre de todos los generadores de números seudoaleatorios
ALGORITMO 2 rand ( ) en Unix
PROPIEDADES
Ejemplos
Uso del seudocódigo Aleatorio
Resumen
Problemas 13.1
Problemas de cómputo 13.1
13.2 Cálculo de áreas y volúmenes mediante técnicas de Monte Carlo
Integración numérica
Ejemplo y seudocódigo
Cálculo de volúmenes
Ejemplo del barquillo de helado
Resumen
Problemas 13.2
Problemas de cómputo 13.2
13.3 Simulación
Problema del dado cargado
Problema del cumpleaños
Problema de la aguja de Buffon
Problema de dos dados
Escudo de neutrones
Resumen
Referencias adicionales
Problemas de cómputo 13.3
14 Problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias
14.1 Método de disparo
Algoritmo del método de disparo
Modificaciones y refinamientos
Resumen
Problemas 14.1
Problemas de cómputo 14.1
14.2 Un método de discretización
Aproximaciones por diferencias finitas
El caso lineal
Seudocódigo y ejemplo numérico
Método de disparo en el caso lineal
Seudocódigo y ejemplo numérico
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 14.2
Problemas de cómputo 14.2
15 Ecuaciones diferenciales parciales
15.1 Problemas parabólicos
Algunas ecuaciones diferenciales parciales de problemas de aplicación
Problema modelo de la ecuación de calor
Método de diferencias finitas
Seudocódigo para el método explícito
Método de Crank-Nicolson
Seudocódigo para el método de Crank-Nicolson
Versión alternativa del método de Crank-Nicolson
Estabilidad
Resumen
Problemas 15.1
Problemas de cómputo 15.1
15.2 Problemas hiperbólicos
Problema modelo de la ecuación de onda
Solución analítica
Solución numérica
Seudocódigo
Ecuación de advección
Método de Lax
Método contra el viento
Método de Lax-Wendroff
Resumen
Problemas 15.2
Problemas de cómputo 15.2
15.3 Problemas elípticos
Problema modelo de la ecuación de Helmholtz
Método de diferencias finitas
Método iterativo de Gauss-Seidel
Ejemplo numérico y seudocódigo
Métodos de elemento finito
Más de elementos finitos
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 15.3
Problemas de cómputo 15.3
16 Minimización de funciones
16.1 Caso de una variable
Problemas de minimización con y sin restricciones
Caso de una variable
Funciones unimodales F
Algoritmo de búsqueda de Fibonacci
Algoritmo de búsqueda de la sección áurea
Algoritmo de interpolación cuadrática
Resumen
Problemas 16.1
Problemas de cómputo 16.1
16.2 Caso de variables múltiples
Series de Taylor para F: vector gradiente y matriz hessiana
Forma alternativa de la serie de Taylor
Procedimiento de máxima pendiente
Diagramas de contorno
Algoritmos más avanzados
Mínimo, máximo y puntos silla
Matriz positiva definida
TEOREMA 1 Teorema de la función cuadrática
Métodos de cuasiNewton
Algoritmo de Nelder-Mead
Método de recocido simulado
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 16.2
Problemas de cómputo 16.2
17 Programación lineal
17.1 Formas estándar y dualidad
Primera forma primal
TEOREMA 1 Primera forma primal
Ejemplo numérico
Transformación de problemas en la primera forma primal
Problema dual
TEOREMA 2 Teorema de problemas primales y duales
TEOREMA 3 Teorema de dualidad
Segunda forma primal
TEOREMA 4 Segunda forma primal
Resumen
Problemas 17.1
Problemas de cómputo 17.1
17.2 Método simplex
Vértices en K y columnas de A linealmente independientes
TEOREMA 1 Teorema de vértices y vectores columna
Método simplex
ALGORITMO 1 Simplex
Resumen
Problemas 17.2
Problemas de cómputo 17.2
17.3 Solución aproximada de sistemas lineales inconsistentes
Problema ℓ₁
Problema ℓ∞
Resumen
Referencias adicionales
Problemas 17.3
Problemas de cómputo 17.3
Apéndice A Asesoramiento de buenas prácticas en programación
A.1 Sugerencias de programación
Casos prácticos
Desarrollo de software matemático
Apéndice B Representación de números en diferentes bases
B.1 Representación de números en diferentes bases
Base β de números
Conversión de partes enteras
Conversión de partes fraccionarias
Base de conversión 10 ↔ 8 ↔ 2
Base 16
Más ejemplos
Resumen
Problemas B.1
Problemas de cómputo B.1
Apéndice C Detalles adicionales de la aritmética de punto flotante del IEEE
C.1 Más de la aritmética estándar de punto flotante del IEEE
Apéndice D Álgebra lineal: conceptos y notación
D.1 Conceptos elementales
Vectores
Matrices
Producto matriz-vector
Producto matricial
Otros conceptos
Regla de Cramer
D.2 Espacios vectoriales abstractos
Subespacios
Independencia lineal
Bases
Transformaciones lineales
Valores propios y vectores propios
Cambio de base y similaridad
Matrices ortogonales y teorema espectral
Normas
Proceso de Gram-Schmidt
Respuestas a los problemas seleccionados
Bibliografía
Índice