Me vorliegende Arbeit achliel3t sich unmittelbar an die Arbeiten [ 13 #t~d [2] an und setzt zumindest die Kenntnis der ersten Paragraphen der Atbeit [I] voraus. Zunachst wird der Homogenitatssatz fur in 5 lineare hnktionen auf den Fall a* = a + 2 ausgedehnt. Danach wird gezeigt, $rB bei Abschwiichung der Voraussetzungen von [I] die im Satz von KNOPP wftretende Menge M auch im Falle qn = 1 das MaB 1 haben kann, und #uuleich werden die beiden Fragen beantwortet, die in [2] gestellt wurden. tfnter bedeutend geringeren Voraussetzungen als in [ 13 werden namlich in 1 0 Funktionen angegeben, fur die die Menge M fur verschiedene k ein Wnohiedenes Ma13 besitzt, und in 9 3 werden Funktionen konstruiert, fur die die Menge M sogar inhomogen ist. Bei allen diesen Funktionen werden Innbeaondere keine Differenzierbarkeitseigenschaften benotigt, was zumlndest beim Beispiel der inhomogenen Menge M von wesentlicher Bedeutung zu aein scheint. Q 1. Lineare Funktionen Im ersten Paragraphen gehen wir von dem linearen Fall f ( a , 5 ) = f(4 + f l ( 4 5 , 5 ( 4 = f (a*(., -1) fnlt /(1) = 1 aus, der auch speziell fur f l ( a ) = c der Arbeit [2] zugrunde lbt, und beweisen folgenden Homogenitatssatz. Ist M eine rnepbare Menge urn Ekrnenten @ (0 < xs 1) rnit der Eigenschft, dap rnit jedern x auch jedes zugehorige x, b e jedes zubsige ~( x ) ZUT Menge gehijrt, und strebt far jede z u b s i g e Poke {ail tl) n 5 (am) n f 1 (ai) + 0, i -1 10 {at die Menge M irn Falk a* = a +-2 h o g e n .
Wie in der Arbeit [ 11 ist f (a) eine monoton fallende Funktion der ganzndllgen Veriinderlichen a, die fur a+ 00 gegen Null strebt. Die Funktion