✍ Scribed by Uwe Franz; Rémi Léandre; René Schott
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A Girsanov formula and an integration by parts formula are given for quantum stochastic processes on the Heisenberg-Weyl algebra and used to obtain sufficient conditions for their Wigner density in a given state to lie in the Sobolev space of order I;. 0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris Calcul de Malliavin pour des processus stochastiques quantiques R&sum& Nous Ptablissons we formule de Girsanov et une formule d'inttfgration par parties pour les processus stochastiques quantiques sur l'algtbre de Heisenberg-Weyl. Nous utilisons ces formules pour dormer me condition sufisante pour que la densite' de Wigner, dans un &at don&, appartienne ir un espace de Sobolev d'ordre k. 0 Acadkmie des SciencesElsevier. Paris Version franpaise ab&g& Le calcul de Malliavin permet de montrer, par des moyens probabilistes, l'existence et la kgularitk des densit& de processus de diffusion. L'idke maitresse est d'obtenir une formule d'integration par parties en dkrivant dans la formule de Girsanov et de l'utiliser pour prouver une estimation de la forme : pour des fonctions cp suffisamment rkgulikres. Dans cette Note nous montrons que cette approche s'applique aussi d des processus stochastiques quantiques. Nous considkons des processus sur l'algtibre de Heisenberg-Weyl et nous travaillons avec les densit& de Wigner (en g&&al celles-ci ne sont pas positives et ne sont pas dans L1 mais dans L'). 11 s'avkre que dans nos estimations nous devons remplacer la norme sup par la norme Note prhsentke par Paul MALLIAVIN.
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We study the approximation problem of Ef(Xr) by Ef(X~.), where (Xt) is the solution of a stochastic differential equation, (X~) is defined by the Euler discretization scheme with step T/n, and f is a given function. For smooth f's, Talay and Tubaro had shown that the error Ef(Xr) -Ef(X~) can be expa