Eingegangen itni 12. 5. 1974) 1. Einleitung lri cler vorliegenden Arbeit werden m-Funkt ionen i r i i Si tine von JANKOWSKI-RUBINSZTEIN und dereii Anwendung auf die l'heorie der totalen Absolut krunimung von Imrnersionen berandeter Mannigfaltigkeiten iii den euklidischen Rauin untersucht. Die MORSE-rl'heorie stutzt sich auf differenzierbare Funktionen. welche auf den Komponenten des Randes der Mannigfaltigkeit M" konstant sirid und niir iiicht degenerierte kritische Punkte im Inneren der Mannigfaltigkeit Lesitzen. A. JANKOWSKI und R. RUBINSZTEIN fuhrten im Jahre 1972 eine neue Klasse von Funktionen, die sog. m-Funktionen, ein, deren Einschrankung auf den Rand der Mannigfaltjgkeit eine M o ~s ~-F u n k t i o n desselben ist, und bewiesen fur sie Verallgenieinerungen der grundlegenden MORSE-Ungleichungeii, die die t o p logischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit init den Eigenschaften der rn -F u n ktionen verkiiupfen. In Anlehnung zur fifoRsE-Zahl untersuchen wir im ersten Teil der Arbeit zwei differentialtopologische Invarianten p'( M") uiid p''(21.4"), welche als ininimale Aiizahl gewisser kritischer Punkte von w-Funktionen definiert werden. Durch drei Hilfssiitze gelingt es uns, voii wz-Funktionen zu MORSE-Funktionen und urngekehrt uberzugehen und dabei die Ainderung der Anzahl der versrhiedenen Arten der kritischen Punkte zu heschreiben. Hieraus ergjht sich, daB die Jnvariante p ' ( M " ) gleich der MoRsE-Zahl der Triade ( M " , ail[", @) ist. Fur die 1 nvariante p"(M") werderi Abschatzungen von unten und voii oben gefunden, wobei die Schranken sich aus den Morse-Zahlen der Mannigfaltigkeit uiid des Randes ergeben. Inshesondere gilt stets p'( M") 1 p"( M"), wobei Gleiehheit zum Reispiel eintritt, weiin der Rand von JP eine Sphare ist. Durch spharische Modifikationen auf verknoteten Spharen konstruieren wir eine Reihe 5 -und hoherdimensionaler Mannigfaltigkeiten, fur die ~"(LW") groBer als p'(M") ist. Zu Beginn des zweiten Teiles der Arheit heweisen wir unter Verwendung der m-Funktionen zuerst eine Verallgemeinerung des Satzes von GAUSS-RONNET fur Immersionen der Mannigfaltigkeit IM" in den euklidischen Rauni. Danach wenden n-ir uns der totalen Absolutkriinimung xu uiid erhalten notweiidige toplogische 13edingungen fur eine Mannigfaltigkeit, falls sie eine Immersion in den eukli-