We study the long-time behavior of solutions of semilinear parabolic equations of the following type (PE) ∂ t u -∇. A(x, t, u, ∇u) + f (x, u) = 0 where f (x, u) ≈ b(x)|u| q-1 u, b being a nonnegative bounded and measurable function and q a real number such that 0 q < 1. We give criteria which imply that any solution of the above equations vanishes in finite time and these criteria are associated to semi-classical limits of some Schrödinger operators. We also give a series of sufficient conditions on b(x) which imply that any supersolution with positive initial data does not to vanish identically for any positive t. © 2001 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS RÉSUMÉ. -Nous étudions le comportement en temps grand de solutions d'équations paraboliques du type (PE) ∂ t u -∇. A(x, t, u, ∇u) + f (x, u) = 0, où f (x, u) ≈ b(x)|u| q-1 u, b étant une fonction positive, bornée et mesurable, et q un nombre réel tel que 0 q < 1. Nous donnons des critères qui impliquent que toute solution des équations ci-dessus devient identiquement nulle en temps fini et ces critères sont associés à des problèmes de limite semiclassique d'opérateurs de Schrödinger. Nous donnons aussi une série de conditions suffisantes sur b(x) qui impliquent que toute sur-solution avec des données initiales positives ne devient jamais identiquement égale à zéro.