Lezioni di analisi matematica 2

✍ Scribed by Massimo Lanza De Cristoforis

• Publisher: Esculapio
• Year: 2021
• Tongue: Italian
• Leaves: 699
• Edition: 1°
• Category: Library

✦ Synopsis

Questo testo prosegue il percorso iniziato con il primo volume e mira non solo ad una trattazione rigorosa della materia, ma anche a fare acquisire allo studente quei concetti base che gli permettano di avere della materia stessa una visione che, a parere dell’autore, è di una certa profondità e sintesi. Come spesso accade per i testi di analisi matematica del secondo anno, la scelta degli argomenti da trattare dipende in qualche modo dalle scelte dell’autore ed in questo senso il presente volume non è un compendio di tutte le scelte possibili ma appunto solo di quelle qui operate. In particolare, qui si è preferito dare più spazio a tematiche che spesso non vengono riprese in corsi successivi e meno a quelle che invece vengono tradizionalmente riprese. Numerosi sono gli esercizi, molti di questi svolti. Il loro livello è generalmente adeguato anche nel caso in cui il docente decida di tralasciare dal programma molti degli aspetti teorici del libro ed intenda rivolgersi ad un pubblico con minori pretese teoriche. Il testo è rivolto sia a studenti dei corsi di laurea in matematica che ad altri di carattere scientifico. Può essere adottato anche in corsi di ingegneria, facendo però accurati tagli ed alcune integrazioni.

✦ Table of Contents

Cover
Lezioni di Analisi Matematica 2
Indice
Prefazione
1 - Spazi normati e convergenza uniforme
1.1 Spazi normati
1.2 Serie a termini in uno spazio normato
1.3 Convergenza puntuale e convergenza uniforme
1.4 Serie di funzioni
1.5 Passaggio al limite sotto il segno di integrale di Riemann
1.6 Passaggio al limite sotto il segno di derivata per funzioni di una variabile reale
1.7 Alcuni esercizi sulla convergenza puntuale ed unifome
1.8 Operatori lineari fra spazi normati
1.9 Operatori lineari in spazi normati di dimensione finita e loro matrici
1.10 Una uguaglianza notevole per la norma di uno spazio normato
1.11 Operatori multilineari fra spazi normati
2 - Funzioni di una variabile scalare a valori vettoriali
2.1 Derivabilità per funzioni di una variabile scalarea valori vettoriali
2.2 Lunghezza delle curve
3 - Limiti di funzioni di più variabili reali
3.1 Osservazioni preliminari
3.2 Una osservazione sul teorema del limite della funzione composta
3.3 Una osservazione sul limite della restrizione
3.4 Qualche osservazione sui limiti a infinito
3.5 Qualche osservazione sul calcolo dei limiti per funzioni di più variabili reali
3.6 Coordinate polari nel piano e diseguaglianze per funzioni scalari
3.7 Alcuni esercizi sui limiti per funzioni di due variabili reali
3.8 Coordinate polari nello spazio e diseguaglianze per funzioni scalari
3.9 Alcuni esercizi sui limiti per funzioni di tre variabili reali
3.10 Diseguaglianze per funzioni scalari in ℝⁿ
3.11 Primi esercizi sullo studio di funzioni di più variabili reali
4 - Calcolo differenziale
4.1 Derivata lungo un vettore
4.2 Differenziale di una funzione
4.3 Differenziabilità reale e complessa
4.4 La disuguaglianza del valor medio per funzioni differenziabili
4.5 Il teorema del differenziale totale
4.6 Regole di differenziazione
4.7 Funzioni differenziabili con continuità
4.8 Alcuni esercizi sulla differenziabilità delle funzionidi più variabili
4.9 Il differenziale di ordine due
4.10 Il differenziale secondo nel caso di funzioni definite in un sottoinsieme di 𝕂ⁿ
4.11 Invertibilità dell’ordine di derivazione e il teorema di Schwarz
4.12 Funzioni due volte differenziabili con continuità definite in un sottoinsieme aperto di 𝕂ⁿ
4.13 Differenziali di ogni ordine
4.14 Derivate parziali di ordine superiore ad uno
4.15 Il differenziale di ordine superiore a uno nel caso di funzioni definite su un sottoinsieme di 𝕂ⁿ
4.16 Funzioni differenziabili con continuità
4.17 La mappa di passaggio all’inversa
4.18 Funzioni differenziabili con continuità nel caso di funzioni definite in un sottoinsieme di 𝕂ⁿ
4.19 Passaggio al limite sotto il segno di derivata per funzioni di più variabili reali
4.20 Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni positivamente omogenee
4.21 La formula di Taylor con il resto nella forma di Peano
4.22 La formula di Taylor con il resto in forma integrale e di Lagrange
4.23 La formula di Taylor nel caso di funzioni definite su un sottoinsieme di 𝕂ⁿ
5 - Applicazioni del calcolo differenziale allo studio qualitativo delle funzioni
5.1 Studio dei punti estremanti di una funzione reale di più variabili reali
5.2 Alcuni esercizi sullo studio delle funzioni di più variabili
6 - Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni implicitamente definite e delle funzioni inverse
6.1 Il problema delle funzioni implicitamente definite
6.2 Differenziabilità parziale
6.3 Il lemma delle contrazioni
6.4 Il teorema della funzione implicita del Dini
6.4.1 Il teorema del Dini in dimensione finita
6.4.2 Il teorema del Dini nel caso di funzioni a valori reali di due variabili
6.4.3 Il teorema del Dini nel caso di funzioni a valori reali di tre variabili
6.5 Alcuni esercizi sul teorema della funzione implicita
6.6 Il teorema di inversione locale
6.7 Un problema di estensione per funzioni iniettive
7 - Alcuni operatori differenziali classici
7.1 La divergenza
7.2 Richiamo sugli spazi Euclidei
7.3 Il gradiente
7.4 L’operatore di Laplace
7.5 Richiamo sugli spazi vettoriali orientati
7.6 Il rotore
8 - Varietà differenziali immerse
8.1 Insiemi vincolati e definizione di varietà in forma vincolare
8.2 Una condizione sufficiente per provare la limitatezza del luogo degli zeri di una funzione
8.3 Parametrizzazioni per una varietà
8.4 Varietà differenziali in ℝⁿ e grafici cartesiani
8.5 Spazio tangente in un punto di una varietà differenziale
8.6 Definizione di varietà in forma parametrica
8.7 Il problema dei massimi e minimi vincolati
8.8 Alcuni esercizi sui massimi e minimi vincolati
8.9 Espressione locale di un vettore normale ad una varietà differenziale di codimensione uno in uno spazio Euclideo
8.10 Orientazione di una varietà differenziale
8.11 Orientazione di una varietà differenziale di dimensione 1
8.12 Orientazione di una varietà differenziale di codimensione 1
8.13 Varietà parametriche
8.14 Frontiera regolare e aperti di classe 𝐶ᵏ in forma vincolare
8.15 Cilindri coordinati e aperti di classe Ck
9 - Elementi di teoria della misura e della integrazione
9.1  𝜎-algebre e misure
9.2 La misura di Lebesgue
9.3 Funzioni misurabili
9.4 Operazioni con le funzioni misurabili
9.5 La nozione di integrale
9.6 Proprietà dell’integrale
9.7 Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale
9.8 Integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue
9.9 Misura di insiemi prodotto cartesiano
9.10 Teoremi di riduzione
9.11 Misura del grafico di una funzione misurabile
9.12 Integrazione su domini normali
9.13 Il teorema di cambiamento di variabili negli integrali di funzioni di più variabili
9.14 L’integrale di Gauss e la funzione Gamma
9.15 Alcuni esercizi sul calcolo degli integrali
9.16 Solidi di rotazione ed il teorema di Guldino
9.17 Integrali dipendenti da parametro
10 - Misura ed integrazione sulle varietà
10.1 La misura di Lebesgue in uno spazio Euclideo
10.2 Misura di Lebesgue sul sostegno di una varietà parametrica regolare
10.3 Integrali superficiali su varietà parametriche
10.3.1 Esercizi e complementi sull’integrale curvilineo al differenziale d’arco
10.3.2 Esercizi e complementi sull’integrale superficiale
10.4 Superfici parametriche di rotazione ed il teorema di Guldino
10.5 Il problema della misura ed integrazione su una varietà immersa
10.6 Il lemma della partizione di 1
10.7 Misura ed integrale di Lebesgue su una varietà immersa
10.8 Il teorema di integrazione per sfere
10.9 Integrazione su domini normali rispetto alla sfera unitaria
10.10 Flusso di un campo vettoriale attraverso una varietà orientata
10.11 Alcuni esercizi sul calcolo del flusso attraverso una varietà orientata
11 - Forme differenziali lineari
11.1 Richiami sul duale di uno spazio vettoriale
11.2 Forme differenziali lineari e loro esattezza
11.3 Integrale di linea di una 1-forma differenziale su un cammino
11.4 Integrale di linea di una 1-forma differenziale su una varietà differenziale orientata di dimensione 1 immersa in uno spazio Euclideo
11.5 Caratterizzazione delle forme esatte
11.6 Locale esattezza e condizioni di chiusura per forme differenziali lineari di classe 𝐶¹
11.7 Omotopia fra circuiti ed aperti semplicemente connessi
11.8 Forme differenziali e campi vettoriali in uno spazio Euclideo
11.9 Alcuni esercizi sulle forme differenziali lineari
12 - Cenni al teorema della divergenza e di Stokes
12.1 Premessa
12.2 Il teorema della divergenza
12.3 Il teorema di Stokes in forma parametrica
12.4 Alcuni esercizi sul teorema della divergenza e di Stokes
13 - Equazioni differenziali ordinarie
13.1 Introduzione e formulazione del problema di Cauchy
13.2 Breve cenno all’integrale di Cauchy per funzioni continue a valori in uno spazio di Banache di una variabile reale
13.3 Formulazione integrale del problema di Cauchy e cilindri di sicurezza
13.4 Il teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy nei cilindri di sicurezza
13.5 Il teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy
13.6 Il concetto di soluzione massimale per il problema di Cauchy
13.7 Una condizione per l’esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy
13.8 Qualche risultato utile allo studio qualitativo delle soluzioni
13.9 Alcuni esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni
13.10 Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie
13.10.1 Equazioni a variabili separabili
13.10.2 Un’equazione riconducibile ad una equazione a variabili separabili
13.10.3 Equazioni omogenee
13.10.4 Un’equazione riconducibile ad una equazione omogenea
13.10.5 Qualche osservazione sulle equazioni differenziali autonome
14 - Equazioni differenziali ordinarie lineari
14.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma normale
14.1.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordine a valori scalari
14.2 L’equazione di Bernoulli
14.3 Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale
14.4 Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti in forma normale
14.5 Esponenziale di un operatore lineare
14.6 Equazioni differenziali lineari di ordine 𝑛 a coefficienticostanti in forma normale
14.7 Risoluzione di una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti e di qualsiasi ordine
14.8 Esempi ed esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti con la formula della variazione delle costanti
14.9 Risoluzione di un’equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti nel caso in cui il termine noto sia un quasi polinomio
Bibliografia
Indice analitico
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