La Notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege. By Jean-Pierre Belna
✍ Scribed by Max Fernández
- Publisher
- Elsevier Science
- Year
- 1998
- Tongue
- English
- Weight
- 120 KB
- Volume
- 25
- Category
- Article
- ISSN
- 0315-0860
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✦ Synopsis
J. P. Belna describe, analiza y compara las concepciones de nu ´mero en Dedekind, Cantor y Frege, tres autores que continuaron la labor de aritmetizacio ´n del ana ´lisis y de fundamentacio ´n de las matema ´ticas a finales del siglo pasado. El autor se propone principalmente mostrar que la tarea de definicio ´n del concepto de nu ´mero condujo a la nocio ´n de conjunto como nuevo indefinible, responder a la cuestio ´n ¿ que ´es un nu ´mero?, y comparar tres muy diferentes concepciones de lo que es la tarea del matema ´tico, especialmente con respecto a la libertad o determinacio ´n con que crea o descubre sus objetos. El orden de exposicio ´n no es cronolo ´gico sino tema ´tico. A cada uno de los tres matema ´ticos elegidos le es dedicado un capı ´tulo subdivido en secciones que tratan respectivamente su construccio ´n de los nu ´meros naturales, su definicio ´n de los reales, su contribucio ´n a la teorı ´a de los transfinitos (o al menos su posicio ´n al respecto), y sus ideas filoso ´ficas.
En el primer capı ´tulo, J. P. Belna describe las diversas formulaciones y dificultades de una serie de conceptos tales como ''sistema,'' ''aplicacio ´n'' y ''cadena,'' en que Dedekind basa su construccio ´n de los naturales. Tambie ´n son analizadas en el texto la conocida distincio ´n dedekineana entre sistemas finitos e infinitos, la prueba de la existencia de un sistema infinito (con las crı ´ticas a que dio ´lugar), y la demostracio ´n del principio de induccio ´n, entre otros temas. Dedekind parte de la nocio ´n de sistema, que explica a trave ´s de una definicio ´n informal y caracteriza por una serie de principios. Belna sen ˜ala aqui las similaridades con la nocio ´n cantoriana de conjunto y con su axiomatizacio ´n por Zermelo. Expone tambie ´n la definicio ´n dedekineana de nu ´mero natural, la equipara con las correspondientes de Peano y Pierce, y analiza las criticas a que dio ´lugar (sobre todo en Russell y Frege). Agrega que el logicismo que Dedekind se atribuye, consiste simplemente en un rechazo al uso de la intuicio ´n en la demostracio ´n matema ´tica, en favor de los me ´todos formales o algebra ´icos, y se manifiesta en que su teorı ´a de los enteros no define los nu ´meros naturales sino una estructura isomorfa a los mismos. En la seccio ´n consagrada a la construccio ´n dedekineana de los reales a trave ´s de la idea de cortadura, el autor analiza las importantes diferencias que e ´sta tiene con la teorı ´a de las proporciones de Eudoxio. En relacio ´n a sus concepciones filoso ´ficas, Dedekind no es muy explı ´cito. Su tesis segu ´n la cual los nu ´meros son libres creaciones del espı ´ritu humano