Beim Studium dynamischer Systeme, die durch nichtlineare gewohriliche Differentialgleichungen beschrieben werden, spielt die direkte Methode eine beachtliche Rolle. Ihr Name ruhrt daher, da13 man versucht, unrnittelbar aus der vorgegebenen Gestalt, der Grundgleichungen SchluBfolgerungen uber gewisse Eigenschaften der Losungen zu ziehen, ohne sich erst in deren analytische Struktur zu vertiefen. Bei nichtlinearen Systemen ist das eine wesentliche Erleichternng. Es ist einleuchtend, daB die direkte Methode vornehmlich zu qualitativen Erkenntnissen. die das Verhalten des Systems im ganzen betreffen, fuhren mu0 ; sie eignet sich beispielsweise dazu, die Stabilitat eines Prozesses zu untersuchen oder die Frage der Schwingungsentstehung zu klaren. Dabei verwendet sie oft zur Veranschaulichung der Losungsmannigfaltigkeit das Phasendiagrclmm, das bei Systemen zweiter Ordnung eine ebene Kurvenschar und daher besonders ubersichtlich ist. Derartige Untersuchungen liefern nicht nur Beitrage zur Grundlagenforschung, sondern konnen auch der Praxis nutzen. Wie weit sie in neuerer Zeit fortgeschritten sind, offenbaren z. B. die sehr umfassenden Bucher von MALKIN [ 11 ,,Theorie der Stabilitat einer Bewegung" (russ. 1952l), dtsch. ubers. 1959) und von SANSONE/CONTI [2] ,,Equazioni differenziali non lineari" (1956).
Im folgenden befassen wir uns der Kurze halber nur mit Systemen zweiter Ordnung, obwohl man diese Einschrankung an vielen Stellen fallen lassen kann ; die Grundgleichungen lauten also
Die Funktionen f und g seien so beschaffen, daB die Existenz-und Eindeutigkeitsbehauptung zutrifft. Die Fremderregung sol1 periodisch arbeiten, f(x7 y, t + w! = f ( X , 954; g ( x . y, t + w ) = g ( x , Y, t ) * Im Sonderfall kann das System auch autonom sein, so daB die Zeit t in den Funktionen f und g nicht explizit vorkommt. Liegen physikalisch realisierl ) Wir heziehen uns hier nuf die russische Ausgabe.