Book Review
KESTEN, H. : P e r c o l a t i o n T h e o r y for Mat h e m a t i ci a n 8. Birkhiiuser Verlag, Boston -Basel -Zur quantitativen Beschreibung von Ausbreitungsphiinomenen, Eindringvorgangen oder Transportprozessen in zufiilligen Medien, wie beispielsweise des Eindringens von Fliissigkaiten oder Gasen in porijse Siibstanzen oder auch der Ausbreitung von Krankheiten in landwirtschaftlichen Kulturen, werden durch die Percolationstheorie Modelle bereitgestellt, die im wesentlichen Hilfsmittel aus der Wehrscheinlichkeits-und der Graphentheorie einsetzen. Die in den letzten Jahren euf diesem Gebiet in starkem MaOe anwachsende Literatur wird durch das vorliegende Buch von H. Kesten in hervorragender Weise bereichert, wobei insbesondere mathematisch intereesierte Leserkreise angesprochen werden: "Quite apart from the fact that percolation theory had its origin in an honest applied problem, it is a source of fascinating problems of the best kind a mathematician can wish for: problems which are easy to state with a minimum of preparation, but whose solutions are (apparently) difficult and require new methods." Mit groBer Ausfuhrlichkeit und Klarheit werden in dieser Monographie vor allen Dingen solche Grundlagen und Ergebnisse der Percolationstheorie dargestellt, die fur eine mathematisch exakte Beweisfiihrung besonders geeignet sind, wobei man auch eine Reihe neuester Ergebnisse des Autors findet: "What is worse though, there arc quite a few phenomena about which we cannot (yet?) say much, if anything, rigorously. This monograph will therefore not go as far t w physisists would like." Innerhalb dieser Beschriinkungen auf im wesentlichen sog. zweidimensionale Bernoullipercolationrn wird eine -durch Beispiele motiviertemtiglichst groDe Allgemeinheit der betrachteten Graphen und WahrscheinlichkeitsmaBe angestrebt (dem eber aufgrund terL ischer Schwierigkeiten Grenzen gesetzt sind).
Im Unterschied zur Diffusion und deren entsprechenden diskreten Modellen wird in der Percoletionstheorie davon ausgegangen, daB die Bewegungen der Teilchen auf einem betrachteten Gjtter oder Graphen erfolgen, dessen einzelne Kanten ei (in Abhiingigkeit vom Zufall) entweder durchliissig (mit der Wahrscheinlichkeit p i ) oder unpassierbar (mit der Wahrscheinlichkeit 1 -p i ) sind. Ee liegen somit vom Zufall abhiingige Konfigurationen passierbarer Kanten vor, und man interessiert sich fur die zufiillige Menge W der von einem gegebenen Bezugspunkt zo aus auf zusammenhiingenden Wegen erreichberen Gitterpunkte und zugehorige Kanten (sog. Cluster). In der vorliegenden Monographie werden angerirhtete (im wesentlichen zweidimensionale) Graphen betrachtet. Es wird vorausgesetzt, daB die Passierbarkeit der Kanten vollstandig unabhangig voneinander erfolgt und daO die Wahrscheinlichkeiten pi von hochatens endlich vielen Parametern = (Al, ..., Ak) abhiingen, wobei gewisse Periodizitiitseigenschaften erfullt sein sollen. Eine Hauptaufgabe der Percolationstheorie besteht darin, die Menge derjenigen Parameterwerte n'zu beatimmen, fur die eine Pkrcolation auftritt, d. h. fur die mit positiver Wahrscheinlichkeit die Anzahl # W der im Cluster W enthaltenen Kanten unendlich wird. Im Spezialfall k = 1 spielen gewisse. kritische Konfitanten eine groOe Rolle, so u. a. und eine entsprechende GroBe bzgl. des Erwartungswertcs El( # W ) der im Cluster I.Y enthaltenen Kanten