Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I Internal Definability 19
1 Basic Definitions 21
1.1 The Internal Language of Modal Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Modal Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Frames as Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 General Framesโboth Algebras and Frames . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 The External Language of Modal Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Some Classes of General Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Completeness and Persistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Some Small Theorems on Persistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Internal Describability 33
2.1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Definabilityโan Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Internal Describability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Definability and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Results on Describable Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Universal Logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Some General Results on Internal Definability 43
3.1 General Correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Preservation, Reflection and Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Quasi-elementary Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Closure Conditions and Syntactic Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 A Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Sahlqvistโs Theorem 49
4.1 The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Esakiaโs Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Proof of Sahlqvistโs Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 A Worked Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6 The Converse of Sahlqvistโs Theorem does not Hold . . . . . . . . . . . 55
II Completeness 57
5 Logics from the Drawing-Board 59
5.1 Sketches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 SketchโOmission Logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Subframe Logics as Sketch-Omission Logics . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Splittings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Differentiation Sketches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 The Structure of Finitely Generated K4-Frames 67
6.1 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Depth defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 The Structure of Finitely Generated K4-Frames . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Blocks and Nets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Points of Depth One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.6 Points of Finite Depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.7 Some Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.8 Quasi-Maximal Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.9 Logics of finite width . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Logics Containing K4 with and without F.M.P. 85
7.1 Subframe Logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Homogenization of Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Logics of finite width once again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4 Logics of Tightness Two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.5 Scattered Sketches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.6 More Preservation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B Symbols 100
C Index 102
D Logics 105
11 German Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12 Curriculum Vitae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113