We consider the bidimensional Stokes problem for incompressible fluids in stream functionvorticity formulation. For this problem, the classical finite elements method of degree one converges only in O( √ h) for the quadratic norm of the vorticity, if the domain is convex and the solution regular. We propose to use harmonic functions obtained by a simple layer potential to approach vorticity along the boundary. Numerical results are very satisfying and we prove that this new numerical scheme leads to an error of order O(h) for the natural norm of the vorticity and under more regularity assumptions from
for the quadratic norm of the vorticity. To cite this article: T. Abboud et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 71-76. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Méthode intégrale pour le problème de Stokes Résumé On considère le problème de Stokes bidimensionnel pour les fluides incompressibles en formulation fonction courant-tourbillon. La méthode des éléments finis classiques de degré un pour les deux champs donne une convergence très lente pour le tourbillon avec de nombreuses oscillations sur le bord. Nous proposons d'utiliser une base de fonctions harmoniques, obtenues à l'aide d'un potentiel de simple couche, pour approcher le tourbillon au bord du domaine. Nous obtenons théoriquement et numériquement avec ce schéma une erreur en moyenne quadratique sur le tourbillon d'ordre 2 par rapport au pas du maillage sous certaines hypothèses de régularité. Pour citer cet article : T. Abboud et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 71-76. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée
La formulation variationnelle bien posée [4] du problème de Stokes en fonction courant-tourbillon consiste à chercher le tourbillon ω dans M( ) = {ϕ ∈ L 2 ( ), ϕ ∈ H -1 ( )} et la fonction courant ψ dans H 1 0 ( ) satisfaisant le problème (1). Avec un schéma utilisant des éléments finis de degré un pour les deux variables (proposé dans [8]), les estimations d'erreur ne sont pas optimales (voir [7]). Nous avons proposé dans [6] de discrétiser directement les deux espaces intervenant dans la décomposition de M( ) :