This note presents a derivation of the appropriate inertial corrections to the Darcy law in a Hele-Shaw cell based on a perturbative method and a polynomial approximation to the velocity field. The obtained equation is optimal in the sense that every method of weighted residuals will converge to it as the number of test functions is increased. A good agreement with the study of the shear instability in a Hele-Shaw cell at low Reynolds number is found. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS fluid mechanics / Hele-Shaw cell / Darcy law / inertial corrections / shear flow
Corrections d'origine inertielle à la loi de Darcy en cellule de Hele-Shaw
Résumé.
Cette note présente la formulation de corrections convenables d'origine inertielle à la loi de Darcy en cellule de Hele-Shaw obtenue à l'aide d'une méthode aux perturbations et d'une approximation polynomiale du champ de vitesse. L'équation obtenue est optimale au sens où toute méthode aux résidus pondérés converge vers le résultat lorsque le
nombre de fonctions-tests employées augmente. Le calcul est en bon accord avec la théorie de stabilité linéaire à faible nombre de Reynolds en cellule de Hele-Shaw. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS mécanique des fluides / cellule de Hele-Shaw / loi de Darcy / corrections d'origine inertielle / écoulement cisaillé Version française abrégée Une cellule de Hele-Shaw est un système formé de deux plaques parallèles et rapprochées entre lesquelles un fluide visqueux s'écoule sous l'effet d'un gradient de pression (la figure a précise géométrie et notations). Lorsque l'inertie du fluide est négligée, la vitesse moyennée suivant l'épaisseur 2h de la cellule, u , est proportionnelle au gradient de pression (cf. équation (1)). Bien que cette relation, dite « loi de Darcy » [1], soit parfaitement justifiée dans la plupart des applications, il peut en être autrement, par exemple dans le cas de l'instabilité de Kelvin-Helmholtz étudiée par Gondret et Rabaud [2]. Ces auteurs ont donc proposé l'extension correspondant à l'équation (3). L'introduction heuristique des termes ∂ t u + u • ∇ xy u peut se justifier en moyennant l'équation de Navier-Stokes suivant l'épaisseur de la cellule. En faisant l'hypothèse d'un profil de vitesse parabolique (écoulement de Poiseuille), Gondret et Rabaud ont obtenu (3) avec le préfacteur 6/5 devant le terme non-linéaire. Ce calcul est une application de la méthode de Kármán-Polhausen rencontrée dans la théorie des couches limites et qui fait partie d'un Note présentée par Keith MOFFATT. S1620-7742(01)01309-5/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés