Let F q (T )=k, with q=2 r , be the rational function field over a finite field of characteristic 2, k the algebraic closure of the completion of k with respect to the infinite place. The Carlitz exponential e(z) defined from k to itself possesses a kernel generated by (T+T q ) 1Â(q&1) ?, where ? is an analog of the usual number. The reciprocal function of e(z) denoted Log(z) converges in a neighbourhood of the origin. With this object we prove an analog of the algebraic independence over Q of the two numbers Log(:), : ; for any algebraic : not equal to zero or one and ; quadratic irrational. We also prove, among other things that ? is ``hypertranscendental'' in the sense that ? and ?$ are algebraically independent. For that purpose, we will construct Drinfeld modules whose derivative of periods are algebraically dependent with the quasi-periods of another Drinfeld module. This property occurs in any characteristic p 2.
1997 Academic Press
1. RAPPELS SUR LES MODULES DE DRINFELD
On de signe par A=F q [T ] l'anneau des polyno^mes en une variable aÁ coefficients dans le corps fini F q de caracte ristique p, par k=F q (T) son corps des fractions, par k =F q ((1ÂT )) le comple te de k pour la valuation (1ÂT )-adique v, que l'on prolonge aÁ une clo^ture alge brique k (resp. k ) de k (resp. k ). On notera |:| : q &v(:) =q d(:) , la valeur absolue d'un e le ment de k . Par T-module de dimension N, on entend la donne e d'un couple E=((G a ) N , 8) ou Á (G a ) N de signe le groupe additif de dimension N et 8 un homomorphisme injectif d'anneaux de A dans l'anneau k [F] des endomorphismes de (G a ) N ve rifiant 8(T )=a 0 F 0 + } } } +a d F d , ouÁ les a i (0 i d ) sont des matrices N_N aÁ coefficients dans k avec a d {0, et F est l'endomorphisme de Frobenius sur (G a ) N . Un sous-Tmodule H de E sera un sous-groupe alge brique connexe de (G a ) N ve rifiant 8(T )(H)/H (notons que ces de finitions sont diffe rentes de celles de [A]).