Implications of the Euclidean Normalizers of Space Groups in Reciprocal Space
Each crystal structure with symmetry G exactly corresponds to i different but equivalent coordinate descriptions of the atomic arrangement and to i different but equivalent structure-factor lists. The number i equals the index of G in its Euclidean normalizer NE(G). The isometries of one coset of G in NE(G) transform an original coordinate description and an original structure-factor list into a certain other equivalent description and equivalent structure-factor list. Two intermediate groups are uniquely defined
G and K(G) are class-equivalent whereas K(G) and Nx(G) are translation-cqiiivalent. L( G) is the most comprehensive intermediate group from the same
Laue class as G. I n course of a structure determination with direct methods all information needed to "fix the origin" by appropriate restriction of some phases may be derived from the additional translations of K(G). I f no anomalous scattering has been observed and if NE(G) is centrosymmetric but G is not, the positions of the inversion centers in L(G) determine the appropriate phase restriction t o "fix the enantiomorph". Zu jeder Kristallstruktur mit der Symmetrie G gehoren genau i unterschiedliche, aber aquivalente Koordinatenbeschreibungen der Anordnung der Atome und i unterschiedliche, aber aquivalente Strukturfaktorlisten. Die Anzahl i ergibt sich als Index von G im Euklidischen Normalisator NE(G). Die Isometrien aus einer Nebenklasse von G in NE( G) transformieren eine gegebene Koordinatenbeschreibung und eine gegebene Strukturfaktorliste in eine bestimmte andere iiquivalente Koordinatenbeschreibung und aquivalente Strukturfaktorliste. Es gibt zwei eindeutig definierte Zwischengruppen : G & K(G) & L(G) NE(G). G und K(G) sind klassengleich, wiihrend K(G) und NE(G) translationengleich sind. L(G) ist die umfassendste Zwischengruppe aus der gleiche Laue-Klesse wie G. Im Laufe einer Strukturbestimmung mit direkten Methoden legt man den Nullpunkt fur die Koordinatenbeschreibung dadurch fest, daO man die Pliasen ausgewiihlter Reflexe auf gewisse Intervalle beschriinkt. Alle dafiir notwendigen Informationen kann man aus den zusiitzlichen Translationen von K( G) ableiten. Falls keine anomale Streuung beobachtet wurde und G azentrisch, NE(G) aber zentrosymmetrisch ist, liiOt sich aus der Lage der Symmetriezentren in L(G) ableiten, welche Phasenbeschrankung einer Auswahl zwischen den "enantiomorphen" Koordinatenbeschreibungen entspricht.