Q 1. Normalformen fiir Gebiete, die in eine RIEMmNsche FZiiche schlicht eingelagert sind I n der Geometrie der konformen Abbildung ist das Normalformenproblem, das bereits 1935 von H. GROTZSCH [5] erwahnt wird, zentrale Fragestellung. Man betrachtet dazu auf einer RIEMANNsChen Fliche (oder Mannigfaltigkeit) F, dem Triiger der konformen Geometrie, die Klasse $j aller Gebiete G c F , deren jedes auf F relativ schlicht liegt und auf ein gegebenes Gebiet Go c F normiert homoomorph abbildbar ist. Als Normierung kommen z. B. geeignete Vorgabe von Fixpunkten, sowie einander entsprechender Homotopieklassen, Randlinienetc. in Frage und zwar so, da13 mit Gi, G E @ auch Gi und G2 normiert homoomorph zueinander sind.1) Gibt es unter den normierten Homoomorphismen zweier Gebiete Gt E Q, G2 E @ einen konformen, der eventuell noch zusatzlichen Normierungen genugtz. B. rnit geeigneten Werten von Ableitungen der Abbildungsfunktion in den Pixpunkten -, so sind G , und G2 normiert konform aquivalent. Bezuglich einer solchen normierten konformen Aquivalenz zerfallt @ in Teilklassen. Unter einer Normalform fiir Q bezuglich dieser normierten konformen Aquivalenz ist eine Menge (3t von Gehieten aus Q zu verstehen, die aus jeder der genannten Teilklassen genau einen Reprasentanten enthailt. Um die Willkur bei der Wahl dieser Reprasentanten etwas einzuschriinken, werden vielfach stetige Normalformen betrachtet. Unter einer stetigen Normalform ' J1 ist eine Menge von Reprasentanten der konformen Aquivalenzklassen zu verstehen, die den folgenden Bedingungen genugt (vgl. hierzu auch [14]): 1. ' J1 enthalt aus jeder Aquivalenzklasse genau einen Reprasentanten. 2. 1st (G,>, G, E %, eine Folge von Gebieten, die im Sinne CARATHiODORYscher Kernkonvergenz (die ihrerseits von den Normierungen abhangt) oder der Randlinienkonvergenz ein Grenzgebiet G E Q besitzt, so sol1 G E % sein. Wahrend die Existenz von Normalformen trivialerweise feststeht , ist die Existenz stetiger Normalformen nicht von vornherein klar. Besonders interessant sind solrhe Normalformen ' J1, bei denen jedes Gebiet G E '$ Extremalgebiet bezuglich eines ,,einfachen" zu extremierenden Punktionals 1) Etwas allgemeiner konnen die G E S, und GO auch als Systeme einander nicht iiberlappender Gebiete gewlhlt werden. S, hiingt noch von der gegebenen Normierung ab.