Problemstellung und Resultate
Die Arheiten [ 11 und;"]] enthalten u. a. folgende Resultate: Eine (pseudo-)RIEMA"sche Mannigfeltigkeit V" der Klasse C", die von konstanter Kriimmung ist, besit.zt stets vier linear unabhangige harmonische geodiitische p-Formen (1 5 p 5 n -1).
Umgekehrt zieht die Existenz von vier solchen Formen in V" stets konstante Kriimmung nach sich. Fur diese Aussage reicht es bereits aus, die Existenz von drei solchen Formen in V" vorauszusetzen.
Im folgenden gehen wir der Frage nach, inwieweit die letzte Aussage auch noch fur zwei derartige E'ormen Gultigkeit behalt. Wir werden zeigen, daB ein Vn, in dem es zwei linear unabhangige harmonische geodatische p-Formen gibt, ein harmonischer Raum ist und Kriimmungskonstanz sich erst durch eine zusatzliche Determinantenbedingung fur die beiden vorausgesetzten Formen einstellt. Fur p = 1 werden wir umgekehrt zeigen, daB ein harmonischer Raum stets zwei linear unabhangige harmonische geodatische PFAFFsChe Formen besitzt. Die Existenz von genau zwei solchen Formen ist notwendig und hinreichend dafiir, daB Vm ( n 2 4) ein nichttrivial harmonischer Raum ist. An einem Beispiel werden wir sehen, daB es harmonische Raume gibt, die nicht zu allen moglichen Stufen p harmonische geodatische Formen besitzen.
Geodatische p-Formen
1.1 Definition
In einer (pseudo-)RmMa"schen Mannigfaltigkeit vfl der Klasse c" sei s = s(x, y) der yeadatische Abdand zwischen den hinreichend benachbarten Punkten') x, y E Vn mit den lokalen Koordinaten xi, yi (i, j = 1, , . ., n ) . Aus der Abstandsfunktion SZ = -s2 ( e : Indikator der Geodatischen Zjj) bilden wir nun die Doppelformen e 2 A(')(x, d x ; y, d y ) = dl2 do, .Z'(')(X, dx; y, d y ) = gii(x) ViSZ * V@I) B(')(x, dx; y, dy) = d dQ, des Bigrades (1 ; 1) und zum Bigrad ( p ; p ) noch z A(') AA B(P-l), B(P) = [B(l)]P. 1) 8. Vor. zu Pormeln (2).