GRUPPENTHEORETISCHE KENNZEICHNUNG DER GEOMETRIEN METRISCHER VEKTORR~UME 1. EINLEITUNG Als Geometrien metrischer Vektorr/iume bezeichnen wir lineare R/iume, welche aus pappusschen projektiven R/iumen durch Herausnehmen der Punkte einer Quadrik entstehen. Jeder solche Raum 1/il3t sich auf die folgende Weise gruppentheoretisch darstellen (siehe [7] oder [5]): Die Punktmenge S ist zugleich involutorisches Erzeugendensystem einer Gruppe (G,') derart, dab der Dreispiegelungssatz in der folgenden Form gilt: Punkte a, b, ceS liegen genau dann kollinear, wenn a" b'c E S ist. Nolte hat in [6] diejenigen Gruppen gekennzeichnet, welche auf diese Weise die Geometrien metrischer Vektorr/iume iiber K6rpern von ungerader Charakteristik darstellen. In der vorliegenden Arbeit soil diese Kennzeichnung vonder Einschr/inkung auf ungerade K6rpercharakteristik befreit werden. Die wesentliche Schwierigkeit dabei ist, dab nun die betrachteten Gruppen kommutativ sein k6nnen.
- VORBEREITENDE DEFINITIONEN UND SATZ DEFINITION 2.1. Sei P eine Meng¢ und L ein System yon Teilmengen yon P mitll ] I> 2 fiir alle leL. Die Elemente von P nennen wir Punkte, die yon L nennen wir Geraden. Das Paar (P, L) heil3t ein linearer Raum, falls es zu verschiedenen Punkten a, beP stets genau eine Gerade 16L mit a, bel gibt. Ein lsomorphismus zwischen linearen R/iumen ist eine Bijektion zwischen den Punktmengen, welche Geraden auf Geraden abbildet. Eine Menge T von Punkten eines linearen Raumes heil3t Teilraum, falls T mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsgerade enth/ilt. Fiir jede Punktmenge M heiBt der Durchschnitt aller Teilr/iume, welche M enthalten, die lineare Hfille yon M. Eine Meng¢ M von Punkten heiBt unabhdngig, wenn die lineare H/111¢ jeder echten Teilmeng¢ von M verschieden yon der linearen Hiill¢ von Mist. Eine Ebene ist die lineare Hiille dreier unabh/ingiger Punkte. DEFINITION 2.2. Sei G eine Gruppe und S ein gegen~iber inneren Automorphismen invariantes, aus involutorischen Elementen bestehendes Erzeugendensystem yon G.