Grnppen mit endlieher Komponentenzahl fastgleicher Untergruppen
Von W. S ~l s a a r t nnd H. ~EIKEEEN in Wiirzburg (Eingegangen am 15.10.1985) Zwei Untergruppen U und V einer Grupp G sollen fastgleich heiBen, wenn ihr Durchschnitt U n V von endlichem Index in U und in V ist. Aus dem Satz von POIRCAR% folgt direkt, dal3 Fastgleichheit eine Kongruewrelation ist ; die Aquivalenzklassen beziiglich dieser Relation nemen wir im folgenden immer Komponenten. Wir mollen Gruppen mit endlicher Komponentenzahl betrachten, also Gruppen G, die folgende Eigenschaft haben : Y),,: Die Gnrpps Q besitzt hijchstens n Komponenten. Gruppen dieser Art werden wir such kmz &Gmppen (wenn es nur a d die Endlichkeit der Komponentenzahl m d uicht suf eine Schranke ankommt, auch einfwh 9-Gruppen) nennen. Man uberlegt sich leicht, daB die Eigenschaft g,, untergruppen-nnd faktorgruppenvererblich ist. Wir werden ein Icriterinm ddiir entwickeln, warn das direkte Produkt zweier !&Gruppen wieder eine cE)-Grnppe ist, und werden d a b i Aussagen uber die neue Schranke der Komponentedzshl mwhen (Satz 4). Dabei wird u m die voUst&n&ge Kenntnis der abelschen '$Gmppen (Satz 3) gute Dienste tnn. WE konnen adhlieBlich die ~-Gmppen beschreiben, die klassenfinit, lokal endlich, lokal nilpotent oder r&al sind. 1. Allgemeine Aussagen Mit 3 wollen wlr die Klasse der endlichen Gmppen bezeichnen. Es ergibt siah folgende AbschluBeigenschaft : sata 1. ' F k = %! &$. Beweis. Sei N ein endlichd;. Normalteiler und Y ein N enthaltender Normdteiler von endlichem Index in Q. 1st 17 eine Untergruppe von G, so gilt einerseits U und UN gind fasfgleich,