Graph-theoretical methods in general function theory

✍ Scribed by Amine El Sahili

• Publisher: Elsevier Science
• Year: 2002
• Tongue: English
• Weight: 47 KB
• Volume: 335
• Category: Article
• ISSN: 1631-073X
• DOI: 10.1016/s1631-073x(02)02585-2

✦ Synopsis

Consider two maps f and g from a set E into a set F such that f (x) = g(x) for every x in E. What is the maximal cardinal of a subset A of E such that the images of the restriction of f and g to A are disjoint? Mekler, Pelletier and Taylor have shown that it is card(E) when the set E is infinite; in the finite case, we have proved that it is greater than or equal to card(E)/4. In this paper, using graph theoretical technics, we find these results as a direct application of a lemma of Erdös. Moreover, we show that if E = F = R, then there exists a countable partition

for every n 1. To cite this article: A. El Sahili, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 859-861.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Théorie des graphes dans la théorie generale des fonctions Résumé On considère deux applications f et g d'un ensemble E dans un ensemble F telles que f (x) = g(x) pour tout x dans E. Quel est le cardinal maximal d'un sous-ensemble A de E tel que les images des restrictions de f et g à A soient disjointes ? Dans le cas où E est infini, la réponse est card(E), comme l'ont montré Mekler, Pelletier et Taylor ; dans le cas fini, nous avons prouvé que le cardinal en question est plus grand ou égale à card(E)/4. Dans cet article, en utilisant les outils de la théorie des graphes, nous retrouvons ces resultats comme application directe d'un lemme d'Erdös. Nous démontrons de plus que si E = F = R, alors il existe une partition dénombrable {E n } n 1 de R telle que f (E n ) ∩ g(E n ) = φ, pour tout n 1.